Sejam z=2-2 i mid e w=-raiz3+i. Represente os seguintes números complexos no plano complexo:
(w2)^10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois números complexos: $ z = 2 - 2i $ e $ w = -\sqrt{3} + i $. Nosso objetivo é representar no plano complexo o número $ \left(\frac{w}{2}\right)^{10} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar $ \frac{w}{2} $. Temos:
w2
Agora, temos um número complexo na forma $ a + bi $, onde $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ b = \frac{1}{2} $.

Passo 3

Para aplicar a fórmula de De Moivre, é mais fácil trabalhar na forma polar. Vamos converter $ \frac{w}{2} $ para a forma polar $ r(\cos \theta + i\sin \theta) $.
Primeiro, calculamos o módulo $ r $:
w2

Passo 4

Agora, encontramos o argumento $ \theta $. Como $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ b = \frac{1}{2} $, o número está no segundo quadrante. Sabemos que:
theta
Esses valores correspondem a $ \theta = \frac{5\pi}{6} $ radianos.

Passo 5

Agora podemos escrever $ \frac{w}{2} $ na forma polar:
w2

Passo 6

Vamos elevar $ \frac{w}{2} $ à décima potência usando a fórmula de De Moivre:
w2
Aqui, $ r = 1 $, $ \theta = \frac{5\pi}{6} $ e $ n = 10 $. Então:
( r (cos theta + i sin theta) )^n = r^n ( cos (ntheta) + i sin (ntheta) )
Simplificando:
r = 1
Reduzindo o ângulo:
theta = 5pi6
Como $ 8\pi $ é um múltiplo completo de $ 2\pi $, podemos simplificar para:
n = 10
Então:
( w2 )^10 = 1^10 ( cos (10 cdot 5pi6) + i sin (10 cdot 5pi6) )

Passo 7

Calculando os valores das funções trigonométricas:
cos ( pi3 ) = 12 e sin ( pi3 ) = raiz32
Portanto:
( w2 )^10 = 12 + raiz32i

Resposta

A representação de $ \left(\frac{w}{2}\right)^{10} $ no plano complexo é $ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $.

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