Sejam
. Represente os seguintes números complexos no plano complexo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois números complexos: $ z = 2 - 2i $ e $ w = -\sqrt{3} + i $. Nosso objetivo é representar no plano complexo o número $ \left(\frac{w}{2}\right)^{10} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos, especialmente a forma polar e a fórmula de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar $ \frac{w}{2} $. Temos:
Agora, temos um número complexo na forma $ a + bi $, onde $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ b = \frac{1}{2} $.
Passo 3
Para aplicar a fórmula de De Moivre, é mais fácil trabalhar na forma polar. Vamos converter $ \frac{w}{2} $ para a forma polar $ r(\cos \theta + i\sin \theta) $.
Primeiro, calculamos o módulo $ r $:
Passo 4
Agora, encontramos o argumento $ \theta $. Como $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ b = \frac{1}{2} $, o número está no segundo quadrante. Sabemos que:
Esses valores correspondem a $ \theta = \frac{5\pi}{6} $ radianos.
Passo 5
Agora podemos escrever $ \frac{w}{2} $ na forma polar:
Passo 6
Vamos elevar $ \frac{w}{2} $ à décima potência usando a fórmula de De Moivre:
Aqui, $ r = 1 $, $ \theta = \frac{5\pi}{6} $ e $ n = 10 $. Então:
Simplificando:
Reduzindo o ângulo:
Como $ 8\pi $ é um múltiplo completo de $ 2\pi $, podemos simplificar para:
Então:
Passo 7
Calculando os valores das funções trigonométricas:
Portanto:
Resposta
A representação de $ \left(\frac{w}{2}\right)^{10} $ no plano complexo é $ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $.