Sejam
. Represente os seguintes números complexos no plano complexo:
Passo 1
O enunciado nos pede para representar no plano complexo o número
, onde
. Vamos usar divisão de números complexos e a operação de conjugação para chegar à forma algébrica.
Passo 2
Primeiro, encontramos o conjugado de
. Se
, então
Passo 3
Em seguida, calculamos
Passo 4
Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de
, que é
:
$$\frac{w}{\bar w} = \frac{(-\sqrt{3} + i)(-\sqrt{3} + i)}{(-\sqrt{3} - i)(-\sqrt{3} + i)}.
$$
Passo 5
No denominador temos
$$(-\sqrt{3} - i)(-\sqrt{3} + i) = (-\sqrt{3})^2 - (i)^2 = 3 - (-1) = 4.
$$
Passo 6
No numerador
$$(-\sqrt{3} + i)^2 = (-\sqrt{3})^2 + 2(-\sqrt{3})(i) + i^2 = 3 - 2\sqrt{3},i - 1 = 2 - 2\sqrt{3},i.
$$
Passo 7
Logo,
$$\frac{w}{\bar w} = \frac{2 - 2\sqrt{3},i}{4} = \frac12 - i\frac{\sqrt{3}}{2}.
$$
Passo 8
O ponto correspondente no plano complexo é
, que está sobre o círculo unitário com argumento
.