Sejam z=2-2 i mid e w=-raiz3+i. Represente os seguintes números complexos no plano complexo:
wbarw

Passo 1

O enunciado nos pede para representar no plano complexo o número wbar w, onde w = -raiz3 + i. Vamos usar divisão de números complexos e a operação de conjugação para chegar à forma algébrica.

Passo 2

Primeiro, encontramos o conjugado de w. Se w = -raiz3 + i, então
bar w = -raiz3 - i

Passo 3

Em seguida, calculamos
wbar w = -raiz3 + i-raiz3 - i

Passo 4

Para simplificar, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de -raiz3 - i, que é -raiz3 + i:
$$\frac{w}{\bar w} = \frac{(-\sqrt{3} + i)(-\sqrt{3} + i)}{(-\sqrt{3} - i)(-\sqrt{3} + i)}.
$$

Passo 5

No denominador temos
$$(-\sqrt{3} - i)(-\sqrt{3} + i) = (-\sqrt{3})^2 - (i)^2 = 3 - (-1) = 4.
$$

Passo 6

No numerador
$$(-\sqrt{3} + i)^2 = (-\sqrt{3})^2 + 2(-\sqrt{3})(i) + i^2 = 3 - 2\sqrt{3},i - 1 = 2 - 2\sqrt{3},i.
$$

Passo 7

Logo,
$$\frac{w}{\bar w} = \frac{2 - 2\sqrt{3},i}{4} = \frac12 - i\frac{\sqrt{3}}{2}.
$$

Passo 8

O ponto correspondente no plano complexo é l(tfrac12, -tfracraiz32r), que está sobre o círculo unitário com argumento -pi/3.

Resposta

wbar w = 12 - iraiz32, que no plano complexo é o ponto l(tfrac12, -tfracraiz32r).

Exercícios relacionados