Dadas as funções:
f(x)=3 x^2-2 cdot cos (x), g(x)=x^3 cdot cos (x) e h(x)=x cdot sen(x)1+x
Assim, z(x)=f^prime(x)+g^prime(x)+h^prime(x) é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três funções:
f(x) = 3x^2 - 2 cdot cos(x), g(x) = x^3 cdot cos(x), h(x) = x cdot sin(x)1 + x
E queremos descobrir . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções polinomiais, trigonométricas e também aplicar regras de derivação como a regra do produto e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f'(x) = ddx[3x^2] - 2 cdot ddx[cos(x)] .
Para derivar f'(x) = 6x - 2 cdot (-sin(x)) = 6x + 2sin(x) , usamos a regra da soma: a derivada da soma de funções é a soma das derivadas.
Agora, sabemos que:
  • A derivada de é (usando a regra do poder, onde ).
  • A derivada de é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v' .
Aqui, temos um produto de duas funções: g'(x) = 3x^2 cdot cos(x) + x^3 cdot (-sin(x)) = 3x^2cos(x) - x^3sin(x) e . Para derivar o produto de duas funções, usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Então,

Passo 4

Por fim, vamos derivar ddx[uv] = u' cdot v - u cdot v'v^2 .
Aqui, temos um quociente de duas funções: h'(x) = (sin(x) + xcos(x))(1 + x) - xsin(x)(1)(1 + x)^2 e (sin(x) + xcos(x))(1 + x) - xsin(x) = sin(x)(1 + x) + xcos(x)(1 + x) - xsin(x) . Para derivar um quociente, usamos a regra do quociente:
sin(x) + xsin(x) + xcos(x) + x^2cos(x) - xsin(x) = sin(x) + xcos(x) + x^2cos(x)
Primeiro, vamos encontrar h'(x) = sin(x) + xcos(x) + x^2cos(x)(1 + x)^2 = sin(x) + xcos(x)(1 + x)(1 + x)^2 usando a regra do produto:
Agora, a derivada de :
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Distribuindo:
Então,

Resposta

Somando todas as derivadas encontradas:
z(x) = f'(x) + g'(x) + h'(x) = (6x + 2sin(x)) + (3x^2cos(x) - x^3sin(x)) + sin(x) + xcos(x)(1 + x)(1 + x)^2

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