Encontre todas os números complexos z tais que:
z^4=-i
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números complexos z tais que z^4=-i. O conteúdo principal é a extração de raízes quárticas de números complexos usando forma polar e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Precisamos primeiro escrever -i em forma polar. Como -i tem módulo 1 e argumento -tfracpi2 (podemos adicionar 2pi k para cobrir todas as folgas), temos:
-i = expl(i(-tfracpi2 + 2pi k)r), kinZ

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, as raízes quartas de um número re^itheta são dadas por:
zk = r^1/4 expl(itfractheta + 2pi k4r), k=0,1,2,3
Aqui r=1 e theta=-tfracpi2+2pi k, logo
zk = expl(il(-tfracpi8 + tfracpi2kr)r), k=0,1,2,3

Passo 4

Agora calculamos explicitamente para cada k:
  • Para k=0: z0 = e^-ipi/8 = cosl(-tfracpi8r)+isinl(-tfracpi8r).
  • Para k=1: z1 = e^i3pi/8 = costfrac3pi8+isintfrac3pi8.
  • Para k=2: z2 = e^i7pi/8 = costfrac7pi8+isintfrac7pi8.
  • Para k=3: z3 = e^i11pi/8 = costfrac11pi8+isintfrac11pi8.

Passo 5

Para representar no plano complexo, marcamos quatro pontos no círculo de raio 1, com ângulos medidos a partir do eixo real positivo: -tfracpi8, 3pi/8, 7pi/8 e 11pi/8. Eles estão igualmente espaçados a cada tfracpi2.

Resposta

As soluções são
le^i(-tfracpi8+tfracpi2k) : k=0,1,2,3r
ou explicitamente
e^-ipi/8,,e^i3pi/8,,e^i7pi/8,,e^i11pi/8.

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