Encontre todas os números complexos
tais que:
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os números complexos
tais que
. O conteúdo principal é a extração de raízes quárticas de números complexos usando forma polar e o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Precisamos primeiro escrever
em forma polar. Como
tem módulo 1 e argumento
(podemos adicionar
para cobrir todas as folgas), temos:
Passo 3
Pelo Teorema de De Moivre, as raízes quartas de um número
são dadas por:
Aqui
e
, logo
Passo 4
Agora calculamos explicitamente para cada
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 5
Para representar no plano complexo, marcamos quatro pontos no círculo de raio 1, com ângulos medidos a partir do eixo real positivo:
,
,
e
. Eles estão igualmente espaçados a cada
.
Resposta
As soluções são
ou explicitamente
.