Encontre as partes reais e imaginárias das soluções das seguintes equaçōes.
3 z^2-2 z+4=0

Passo 1

O problema dá a equação quadrática 3z² – 2z + 4 = 0. O conteúdo é resolução de equações quadráticas com coeficientes reais que irão gerar raízes complexas, e vamos precisar usar a fórmula de Bhaskara para z em termos de a, b e c.

Passo 2

Identificamos os coeficientes: a = 3, b = -2 e c = 4. Em seguida, calculamos o discriminante Δ = b² – 4ac. Aplicamos a definição de discriminante:
Δ = (-2)^2 - 4 cdot 3 cdot 4 = 4 - 48 = -44

Passo 3

Como Δ < 0, as raízes são complexas e envolvem a parte imaginária. Usamos a fórmula de Bhaskara:
z = -b pm raizΔ2a

Passo 4

Substituindo os valores:
z = -(-2) pm raiz-442 cdot 3 = 2 pm iraiz446

Passo 5

Simplificamos √44 = 2√11 e dividimos os termos por 6:
z = 26 pm i2raiz116 = 13 pm iraiz113

Resposta

As soluções são z = \tfrac{1}{3} + i\tfrac{\sqrt{11}}{3} e z = \tfrac{1}{3} - i\tfrac{\sqrt{11}}{3}. Portanto, em ambas as raízes a parte real é \tfrac{1}{3} e as partes imaginárias são ±\tfrac{\sqrt{11}}{3}.

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