Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) ightarrow(0) racx+yx+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) to (0) x + yx + y^2
Esse exercício está na área de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (0, 0) por diferentes caminhos. Isso nos ajuda a verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do caminho onde y = 0. Ou seja, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos do ponto (0,0) mantendo y sempre igual a zero.
Substituindo y = 0 na função:
x + 0x + 0^2 = xx = 1 (para x neq 0)
Então, ao longo do caminho y = 0, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho: onde x = 0. Isso significa que nos aproximamos de (0,0) mantendo x sempre igual a zero.
Substituindo x = 0 na função:
0 + y0 + y^2 = yy^2 = 1y (para y neq 0)
À medida que y se aproxima de 0, 1y tende ao infinito (positivo ou negativo, dependendo da direção de y). Portanto, ao longo do caminho x = 0, o limite não é finito.

Passo 4

Além disso, vamos verificar um caminho onde y depende de x. Por exemplo, suponha que y = x. Substituindo nessa função:
x + xx + x^2 = 2xx(1 + x) = 21 + x (para x neq 0)
Quando x se aproxima de 0, 21 + x se aproxima de 2. Então, ao longo do caminho y = x, o limite é 2.

Passo 5

Observamos que ao escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos de (0,0), o limite da função assume valores distintos:
  • Pelo caminho y = 0, o limite é 1.
  • Pelo caminho x = 0, o limite tende ao infinito.
  • Pelo caminho y = x, o limite é 2.

Resposta

Como o limite assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de (0,0), concluímos que o limite
lim (x, y) to (0) x + yx + y^2
não existe.

Exercícios relacionados