Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está na área de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
por diferentes caminhos. Isso nos ajuda a verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do caminho onde
. Ou seja, vamos ver o que acontece quando nos aproximamos do ponto
mantendo
sempre igual a zero.
Substituindo
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite é 1.
Passo 3
Agora, vamos tentar outro caminho: onde
. Isso significa que nos aproximamos de
mantendo
sempre igual a zero.
Substituindo
na função:
À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito (positivo ou negativo, dependendo da direção de
). Portanto, ao longo do caminho
, o limite não é finito.
Passo 4
Além disso, vamos verificar um caminho onde
depende de
. Por exemplo, suponha que
. Substituindo nessa função:
Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 2. Então, ao longo do caminho
, o limite é 2.
Passo 5
Observamos que ao escolher diferentes caminhos para nos aproximarmos de
, o limite da função assume valores distintos:
- Pelo caminho
, o limite é 1. - Pelo caminho
, o limite tende ao infinito. - Pelo caminho
, o limite é 2.
Resposta
Como o limite assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, concluímos que o limite
não existe.