Sejam z(x, y)=x^2 e^y, x(u, w)=u+w e y(u, w)=2 u w. Calcule partialpartial u[z(x(u, w), y(u, w))] e partialpartial w[z(x(u, w), y(u, w))].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função composta x(u, w) = u + w , onde y(u, w) = 2 u w e são funções de e :
Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos começar calculando partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u . Usando a regra da cadeia para funções de duas variáveis, temos:
Primeiro, vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando z(x, y) = x^2 e^y :
partial zpartial x = 2x e^y

Passo 4

Calculando z(x, y) = x^2 e^y :
partial zpartial y = x^2 e^y

Passo 5

Calculando x(u, w) = u + w Rightarrow partial xpartial u = 1 e y(u, w) = 2 u w Rightarrow partial ypartial u = 2 w :

Passo 6

Substituindo todas as derivadas encontradas na fórmula da regra da cadeia para partial zpartial u = (2x e^y) cdot 1 + (x^2 e^y) cdot 2w = 2x e^y + 2w x^2 e^y :

Passo 7

Agora, vamos calcular partial zpartial w = partial zpartial x cdot partial xpartial w + partial zpartial y cdot partial ypartial w usando a mesma regra da cadeia:

Passo 8

Calculando x(u, w) = u + w Rightarrow partial xpartial w = 1 e y(u, w) = 2 u w Rightarrow partial ypartial w = 2 u :

Passo 9

Substituindo todas as derivadas encontradas na fórmula da regra da cadeia para partial zpartial w = (2x e^y) cdot 1 + (x^2 e^y) cdot 2u = 2x e^y + 2u x^2 e^y :

Resposta

As derivadas parciais s��o:
partialpartial u[z(x(u, w), y(u, w))] = 2x e^y + 2w x^2 e^y
partialpartial w[z(x(u, w), y(u, w))] = 2x e^y + 2u x^2 e^y

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