Use coord. esféricas para calcular
, onde
e o sólido
são:
e
está entre as esferas
e
e acima do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de $ f(x, y, z) = x^2 $ sobre o sólido $ E $ que está entre as esferas $ \rho = 2 $ e $ \rho = 4 $ e acima do cone $ \phi = \frac{\pi}{3} $. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para trabalhar com esferas e cones. Vamos precisar lembrar como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Nessa sistemática, cada ponto é descrito por três parâmetros: $ \rho $ (a distância até a origem), $ \theta $ (o ângulo no plano xy, parecido com o ângulo polar) e $ \phi $ (o ângulo em relação ao eixo z). A conversão de coordenadas cartesianas para esféricas é dada por:
E o elemento de volume $ dV $ em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. O sólido $ E $ está entre as esferas $ \rho = 2 $ e $ \rho = 4 $, então $ \rho $ varia de 2 a 4. Além disso, está acima do cone $ \phi = \frac{\pi}{3} $, o que significa que $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{3} $. E como não há restrição no ângulo $ \theta $, ele varia de 0 a $ 2\pi $.
Passo 4
Vamos agora reescrever a função $ f(x, y, z) = x^2 $ em coordenadas esféricas. Substituindo $ x = \rho \sin\phi \cos\theta $, temos:
Passo 5
Agora montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
Simplificando, ficamos com:
Passo 6
Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, a integral em $ \rho $:
Passo 7
Agora, a integral em $ \phi $:
Para resolver isso, usamos a identidade $ \sin^3\phi = \sin\phi (1 - \cos^2\phi) $ e fazemos uma substituição $ u = \cos\phi $, $ du = -\sin\phi , d\phi $. A integral fica:
Passo 8
Por fim, a integral em $ \theta $:
Usamos a identidade $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
Resposta
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Então, a integral tripla vale $ \frac{124}{3} \pi $.