Use coord. esféricas para calcular integral triplaE f(x, y, z) d V, onde f e o sólido E são:
f(x, y, z)=x^2 e E está entre as esferas rho=2 e rho=4 e acima do cone phi=pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de $ f(x, y, z) = x^2 $ sobre o sólido $ E $ que está entre as esferas $ \rho = 2 $ e $ \rho = 4 $ e acima do cone $ \phi = \frac{\pi}{3} $. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para trabalhar com esferas e cones. Vamos precisar lembrar como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Nessa sistemática, cada ponto é descrito por três parâmetros: $ \rho $ (a distância até a origem), $ \theta $ (o ângulo no plano xy, parecido com o ângulo polar) e $ \phi $ (o ângulo em relação ao eixo z). A conversão de coordenadas cartesianas para esféricas é dada por:
rho
E o elemento de volume $ dV $ em coordenadas esféricas é:
theta

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. O sólido $ E $ está entre as esferas $ \rho = 2 $ e $ \rho = 4 $, então $ \rho $ varia de 2 a 4. Além disso, está acima do cone $ \phi = \frac{\pi}{3} $, o que significa que $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{3} $. E como não há restrição no ângulo $ \theta $, ele varia de 0 a $ 2\pi $.

Passo 4

Vamos agora reescrever a função $ f(x, y, z) = x^2 $ em coordenadas esféricas. Substituindo $ x = \rho \sin\phi \cos\theta $, temos:
f(x, y, z) = x^2

Passo 5

Agora montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE x^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi3 integral2^4 rho^2 sin^2phi cos^2theta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, ficamos com:
integral0^2pi integral0^pi3 integral2^4 rho^4 sin^3phi cos^2theta , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em partes. Primeiro, a integral em $ \rho $:
rho

Passo 7

Agora, a integral em $ \phi $:
phi
Para resolver isso, usamos a identidade $ \sin^3\phi = \sin\phi (1 - \cos^2\phi) $ e fazemos uma substituição $ u = \cos\phi $, $ du = -\sin\phi , d\phi $. A integral fica:
integral0^pi3 sin^3phi , dphi

Passo 8

Por fim, a integral em $ \theta $:
theta
Usamos a identidade $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais:
integral triplaE x^2 , dV = 9925 times 524 times pi = 99224 pi = 1243 pi
Então, a integral tripla vale $ \frac{124}{3} \pi $.

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