5 Determine uma transformação linear T: R^3 R^4 tal que (1,0,2) in ker(T) e Im(T)=span(1,2,3,4),(0,1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
tal que e
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity), como o domínio tem dimensão 3 e a imagem exigida tem dimensão 2, a nulidade deve ser 1, logo será exatamente a reta gerada por .

Passo 2

Para construir T, escolhemos uma base de R^3 adaptada ao kernel e à imagem:
v1 = (1,0,2), v2 = (0,1,0), v3 = (0,0,1)
Queremos que v1 gere o kernel e que v2,v3 sejam levados aos vetores que geram a imagem.

Passo 3

Definimos nos vetores da base escolhida por
Isso garante imediatamente e .

Passo 4

Para obter a fórmula de T(x,y,z) no sistema de coordenadas canônico, escrevemos
(x,y,z) = a,v1 + b,v2 + c,v3
e resolvemos
(x,y,z) = (a,,b,,2a+c);Longrightarrow; a = x,; b = y,; c = z-2x
Logo
T(x,y,z) = b,T(v2) + c,T(v3) = y,(1,2,3,4) + (z-2x),(0,1,0,1)
Em forma exibida:
T(x,y,z) = l(y,;2y + (z-2x),;3y,;4y + (z-2x)r)

Passo 5

Verificações rápidas:
  1. Se (x,y,z)inker(T) então y=0 e z-2x=0, logo (x,y,z)=x,(1,0,2).
  2. T(0,1,0)=(1,2,3,4) e T(0,0,1)=(0,1,0,1), de onde Im(T) é exatamente o span desejado.

Resposta

Uma transformação que funciona é
T(x,y,z) = l(y,;-2x + 2y + z,;3y,;-2x + 4y + zr)

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