5 Determine uma transformação linear
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
tal que
e
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity), como o domínio tem dimensão 3 e a imagem exigida tem dimensão 2, a nulidade deve ser 1, logo
será exatamente a reta gerada por
.
Passo 2
Para construir
, escolhemos uma base de
adaptada ao kernel e à imagem:
Queremos que
gere o kernel e que
sejam levados aos vetores que geram a imagem.
Passo 3
Definimos
nos vetores da base escolhida por
Isso garante imediatamente e .
Passo 4
Para obter a fórmula de
no sistema de coordenadas canônico, escrevemos
e resolvemos
Logo
Em forma exibida:
Passo 5
Verificações rápidas:
- Se
então e , logo . -
e , de onde é exatamente o span desejado.
Resposta
Uma transformação que funciona é