Sejam z1=a1+i b1 e z2=a2+i b2 dois complexos. Mostre que:
c) |z1 z2|=|z1||z2|.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos
,z1=a1+i b1 e ,z2=a2+i b2
e pede para mostrar que
l|z1z2r| = l|z1r|;l|z2r|
Vamos usar a definição de módulo em termos de conjugado e a propriedade de conjugação de um produto.

Passo 2

Lembrando que, para qualquer complexo z, vale
l|zr|^2 ;=; z,z

Passo 3

Começamos analisando o quadrado do módulo do produto:
l|z1z2r|^2 ;=; l(z1z2r),l(z1z2r)

Passo 4

Usamos a propriedade de conjugado de produto:
z1z2 = z1;z2,
portanto
l(z1z2r),l(z1z2r) = z1z2;z1;z2 = l(z1,z1r);l(z2,z2r) = l|z1r|^2;l|z2r|^2

Passo 5

Como ambos os lados são não negativos, extraímos raiz quadrada:
l|z1z2r| = raizl|z1z2r|^2 = raizl|z1r|^2,l|z2r|^2 = l|z1r|,l|z2r|

Resposta

l|z1z2r| = l|z1r|l|z2r|.

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