Selecionam-se ao acaso dois pontos em um seguimento de tamanho 1, dividindo-o em três partes. Determine a probabilidade de que se possa formar um triângulo com essas três partes.
Passo 1
Estamos cortando ao acaso um segmento de comprimento 1 em dois pontos e isso gera três pedaços. O conteúdo é probabilidade geométrica: modelamos as posições dos cortes como variáveis contínuas uniformes e queremos a região em que as três partes satisfazem as desigualdades do triângulo.
Passo 2
Sejam
as posições dos cortes em
. Definimos
então os comprimentos dos três pedaços são
No plano
válido temos
, com área total
.
Passo 3
Para formar triângulo precisamos
Substituindo
:
-
dá
-
dá
-
dá
Assim a região desejada é
Passo 4
Calculamos a área dessa região:
Como o total do triângulo
tem área
, a probabilidade é
Resposta
A probabilidade de formar um triângulo é
.