Selecionam-se ao acaso dois pontos em um seguimento de tamanho 1, dividindo-o em três partes. Determine a probabilidade de que se possa formar um triângulo com essas três partes.

Passo 1

Estamos cortando ao acaso um segmento de comprimento 1 em dois pontos e isso gera três pedaços. O conteúdo é probabilidade geométrica: modelamos as posições dos cortes como variáveis contínuas uniformes e queremos a região em que as três partes satisfazem as desigualdades do triângulo.

Passo 2

Sejam U,V as posições dos cortes em [0,1]. Definimos
X = min(U,V), Y = max(U,V),
então os comprimentos dos três pedaços são
a = X, b = Y - X, c = 1 - Y
No plano (X,Y) válido temos 0 <= X <= Y <= 1, com área total tfrac12.

Passo 3

Para formar triângulo precisamos
a + b > c, a + c > b, b + c > a
Substituindo a,b,c:
  1. a+b>c
Y > 1 - Y ;Longrightarrow; Y > tfrac12
  1. b+c>a
(Y - X) + (1 - Y) > X ;Longrightarrow; 1 - X > X ;Longrightarrow; X < tfrac12
  1. a+c>b
X + (1 - Y) > Y - X ;Longrightarrow; 1 + 2X > 2Y ;Longrightarrow; Y < 1 + 2X2
Assim a região desejada é
0 <= X <= tfrac12, tfrac12 < Y < 1 + 2X2

Passo 4

Calculamos a área dessa região:
Área = integralX=0^1/2 l(1 + 2X2 - 12r), dX = integral0^1/2 X, dX = [X^22]0^1/2 = 1/42 = 18 Á
Como o total do triângulo 0<= X<= Y<=1 tem área tfrac12, a probabilidade é
Área favorávelÁrea total = tfrac18tfrac12 = 14 ÁáÁ

Resposta

A probabilidade de formar um triângulo é tfrac14.

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