(a) (1.0) Encontre todos os autovalores de A.
(b) (2.0) Encontre todos os autovetores de A linearmente independente associados aos autovalores.
(c) (1.0) A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que A=P D P^{-1}, com D diagonal.
e pede: (a) autovalores de A, (b) autovetores associados linearmente independentes, (c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar P e D tais que
A = P\,D\,P^{-1}.
Para isso vamos primeiro calcular o polinômio característico.
As equações dão -2x+3y+z=0 e -4y+2z=0, 4y-2z=0. Da segunda segue z=2y. Substituindo na primeira, -2x+5y=0 então x=\tfrac52y. Escolhendo y=2 ficamos com
As equações dão 4x+3y+z=0 e 2y+2z=0, 4y+4z=0. Da segunda segue z=-y. Substituindo na primeira, 4x+2y=0 então x=-\tfrac12y. Tomando y=2 obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.
Passo 4
Os vetores v_1,v_2,v_3 são três autovetores associados a autovalores distintos, logo são linearmente independentes e A é diagonalizável. Se colocarmos esses vetores como colunas de P e os autovalores em D, temos