Sempre que necessário nos problemas, use
velocidade do som no ar =343 m / s=1.125 jt / s
e
densidade do ar =1.2 / kg / m^*
a não ser que sejam especificados outros valores.
Duas fontes pontuais de ondas sonoras, de comprimentos de onda lambda e amplitude idênticos, estão separados por uma distância D=2,0 lambda. As fontes estão em fase. (a) Quantos pontos de sinal máximo (interferência construtiva) existem em um grande círculo, em torno das fontes? (b) Quantos pontos existem de sinal mínimo (interferência destrutiva)?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos duas fontes pontuais de som emitindo com o mesmo comprimento de onda lambda e em fase, separadas por D=2,0,lambda. A gente quer saber, num círculo bem grande em torno das fontes, quantos pontos dão interferência construtiva (máximo) e quantos dão interferência destrutiva (mínimo). O assunto aqui é interferência de ondas, e vamos usar as condições de diferença de caminho para construir máximos e mínimos.

Passo 2

Quando o círculo é grande, a diferença de caminho entre as duas fontes até um ponto na borda dele é bem aproximada por
De
onde theta é o ângulo de observação medido em relação à linha que une as fontes. Essa fórmula vem de geometria de triângulos em circuito grande (aprox. ondas paralelas na distância).

Passo 3

Interferência construtiva (máximo) ocorre quando
De
Ou seja
$$D\cos\theta = m,\lambda
\quad\Longrightarrow\quad
\cos\theta = \frac{m,\lambda}{D} = \frac{m}{2},. Dcostheta = m,lambda Longrightarrow costheta = m,lambdaD = m2, -1 \le \frac{m}{2} \le 1
;\Longrightarrow; m=-2,-1,0,1,2,. $$

Passo 4

Para cada valor de m:
  • m=pm2 costheta=pm1totheta=0,pi (1 ponto cada),
  • m=pm1 costheta=pm0,5totheta=60^circ,300^circ e 120^circ,240^circ (2 pontos cada),
  • m=0 costheta=0totheta=90^circ,270^circ (2 pontos).
    Somando: 1+2+2+2+1 = 8 pontos de máximo.

Passo 5

Interferência destrutiva (mínimo) ocorre quando
De
ou
$$D\cos\theta = \Bigl(m+\tfrac12\Bigr)\lambda
;\Longrightarrow;
\cos\theta = \frac{m+0{,}5}{2},. Dcostheta = l(m+tfrac12r)lambda ;Longrightarrow; costheta = m+0,52, -2 \le m+0{,}5 \le 2
;\Longrightarrow; m=-2,-1,0,1,. $$

Passo 6

Cada um desses 4 valores de m gera costheta estritamente entre -1 e 1, então cada um dá 2 soluções de theta (simétricas em relação ao eixo). Logo são 4times2 = 8 pontos de mínimo.

Resposta

(a) 8 pontos de interferência construtiva
(b) 8 pontos de interferência destrutiva

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