Sempre que necessário nos problemas, use
velocidade do som no ar =343 m / s=1.125 jt / s
e
densidade do ar =1.2 / kg / m^*
a não ser que sejam especificados outros valores.
Uma onda sonora se propaga, de maneira uniforme, em todas as direções, emitida por uma fonte pontual. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento s do meio a qualquer distancia r da fonte:
s=gammar sen k(r-v t)
Considere a velocidade, a direção de propagação, a periodicidade e a intensidade da onda. (b) Quais as dimensões da constante gamma?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre como uma onda sonora se propaga de uma fonte pontual, ou seja, um ponto que emite o som. A gente vai trabalhar com a velocidade do som no ar e a densidade do ar, a não ser que seja dito o contrário. O que a gente precisa fazer aqui é entender e justificar a fórmula que descreve o deslocamento do meio (o ar, no caso) em qualquer ponto distante da fonte. Além disso, tem uma parte perguntando quais são as dimensões da constante $ \gamma $. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de ondas, como velocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a expressão dada para o deslocamento $ s $:
s
Aqui, $ s $ é o deslocamento do meio em um ponto distante $ r $ da fonte sonora. A função seno representa a oscilação da onda sonora ao longo do tempo e do espaço. Vamos quebrar isso em partes para justificar cada componente da equação.

Passo 3

Velocidade de Propagação ($ v $): A velocidade com que a onda sonora se propaga no ar é $ v = 343 , m/s $. Isso indica quão rápido as partículas do ar estão vibrando e transmitindo o som.
Direção de Propagação: A onda se propaga de forma uniforme em todas as direções a partir de uma fonte pontual. Isso significa que a onda se expande em formato de esfera, e a velocidade é a mesma em todas as direções.

Passo 4

Periodicidade: A função seno $ \sin(k(r - vt)) $ descreve a natureza periódica da onda sonora. O argumento do seno, $ k(r - vt) $, determina como a onda oscila no espaço e no tempo. Aqui, $ k $ é o número de onda, que está relacionado ao comprimento de onda.
Intensidade da Onda: A intensidade da onda sonora diminui com a distância da fonte. Isso é representado pelo termo $ \frac{\gamma}{r} $, onde $ \gamma $ é uma constante que depende das características da fonte e do meio.

Passo 5

Juntando tudo, a expressão completa:
s = gammar sin(k(r - vt))
Mostra que o deslocamento $ s $ diminui à medida que nos afastamos da fonte (graças ao $ \frac{1}{r} $), e que a onda tem uma natureza periódica determinada pela função seno. A velocidade $ v $ e o número de onda $ k $ estão ligados à frequência da onda e ao comprimento de onda, respectivamente.

Passo 6

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar as dimensões da constante $ \gamma $. Sabemos que o deslocamento $ s $ tem dimensão de comprimento gamma . A equação é:
s
Como o seno é uma função adimensional, $ \frac{\gamma}{r} $ deve ter a mesma dimensão que $ s $, ou seja, [L].

Passo 7

Portanto, temos:
gammar sim [L]
Como $ r $ tem dimensão r , então $ \gamma $ deve ter dimensão:
[L]

Resposta

A constante $ \gamma $ tem dimensões de área, ou seja, gamma .

Exercícios relacionados