Sempre que os pontos experimentais caem sobre uma linha reta, a lei de variação que relaciona as quantidades físicas são facilmente deduzidas. Entretanto, quando os pontos experimentais não se ajustam a uma linha reta como frequentemente acontece, o problema torna-se um pouco mais difícil. Com base nisto, escreva expressões que correspondam a linearização das seguintes equações
Y=a e^{b X}

Passo 1

O enunciado dá a lei experimental
Y = a\,e^{bX}
e quer que a gente encontre uma transformação que faça os dados caírem numa reta. Para isso vamos usar logaritmos e expressar tudo na forma
Y' = m\,X' + c
onde Y' e X' são variáveis transformadas, m é a inclinação e c o coeficiente linear.

Passo 2

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação original temos
\ln Y = \ln\bigl(a\,e^{bX}\bigr)
e, usando \ln(uv)=\ln u+\ln v e \ln(e^{bX})=bX, obtemos
\ln Y = \ln a + bX.

Passo 3

Definimos então
Y' = \ln Y, \quad X' = X, \quad m = b, \quad c = \ln a.
Com isso a relação linearizada fica
Y' = m\,X' + c.

Passo 4

Se preferirmos usar logaritmo de base 10 em vez de natural, fazemos
\log Y = \log\bigl(a\,e^{bX}\bigr) = \log a + \log(e^{bX}) = \log a + bX\,\log e,
ou ainda, como \log e = 1/\ln 10,
\log Y = \log a + \frac{b}{\ln 10}\,X.

Resposta

\displaystyle \ln Y = \ln a + bX (transformação natural) \displaystyle \log Y = \log a + bX\,\log e (transformação na base 10)

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