Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas
e
de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos matrizes quadradas
e
de entradas reais tais que
Ou seja, elas devem comutar e seu produto não pode ser a matriz nula.
Passo 2
Uma maneira trivial de garantir comutatividade é escolher
a matriz identidade de ordem
, e
qualquer matriz real não nula. Nesse caso
logo
.
Passo 3
Para dar um exemplo expl’icito em ordem
, podemos tomar
Verificamos
e claramente
A Bneq 0 .
Passo 4
Podemos tamb’em escolher um par n~ao trivial de matrizes triangulares superiores com o mesmo valor pr’oprio repetido, por exemplo
Como ambas s~ao da forma
``xI + N'' com
N nilpotente e compartilham a mesma parte diagonal, tem-se
A B = B A . O produto n~ao 'e nulo:
Resposta
Um par de exemplos poss’iveis 'e:
ou ent~ao