Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas A e B de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
A B=B A neq 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos matrizes quadradas A e B de entradas reais tais que
A,B = B,A neq 0
Ou seja, elas devem comutar e seu produto não pode ser a matriz nula.

Passo 2

Uma maneira trivial de garantir comutatividade é escolher
A = In,
a matriz identidade de ordem n, e B qualquer matriz real não nula. Nesse caso
A,B = In B = B e B,A = B In = B,
logo A B = B A = Bneq 0.

Passo 3

Para dar um exemplo expl’icito em ordem 2, podemos tomar
A = I2 = 1 & 0 0 & 1, B = 1 & 2 3 & 4
Verificamos
A,B = 1 & 2 3 & 4 ;=;B,A,
e claramente A Bneq 0.

Passo 4

Podemos tamb’em escolher um par n~ao trivial de matrizes triangulares superiores com o mesmo valor pr’oprio repetido, por exemplo
A = 1 & 1 0 & 1, B = 2 & 3 0 & 2
Como ambas s~ao da forma ``xI + N'' com N nilpotente e compartilham a mesma parte diagonal, tem-se A B = B A. O produto n~ao 'e nulo:
A,B = 1 & 1 0 & 1 2 & 3 0 & 2 = 2 & 5 0 & 2neq 0

Resposta

Um par de exemplos poss’iveis 'e:
A = I2, B = 1 & 2 3 & 4,
ou ent~ao
A = 1 & 1 0 & 1, B = 2 & 3 0 & 2

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