Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
A^4=-I

Passo 1

O enunciado pede para encontrar exemplos de matrizes reais quadradas A tais que
A^4 = -In
ou, caso não existam, justificar por que não é possível.

Passo 2

Vamos usar a propriedade do determinante. Se A é ntimes n real, então
det(A^4)=det(A)^4,
por outro lado
det(A^4)=det(-In)=(-1)^n
Logo
det(A)^4 = (-1)^n
O lado esquerdo é sempre não–negativo, logo só pode igualar (-1)^n se este também for não–negativo. Como (-1)^n=1 se, e somente se, n é par, concluímos que não existem matrizes reais de ordem ímpar satisfazendo A^4=-In.

Passo 3

Para n=2 (o menor caso par) podemos usar a matriz de rotação no plano de ângulo pi/4:
A = costfracpi4 & -sintfracpi4[6pt] sintfracpi4 & costfracpi4 = raiz22 1 & -1[2pt] 1 & 1
Como uma rotação de ângulo theta satisfaz A^k = rotação de ktheta, temos
A^4 = rotação de 4cdotpi4 = rotação de pi = -I2 çãçã]

Passo 4

Para n=4 podemos usar a matriz companheira (companion) do polinômio característico x^4+1. Defina
B = 0 & 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0
Pelo teorema de Cayley–Hamilton, B^4 + I4=0, ou seja,
B^4 = -I4

Passo 5

Em geral, para qualquer ordem par , basta tomar matriz bloco-diagonal com blocos iguais \u00e0 rotae7e3o de em :
onde
Cada bloco satisfaz , logo .]

Resposta

Ne3o existe solue7e3o real para n edmpar (pois det(A)^4=(-1)^n seria negativo).
Para n par, por exemplo:
n=2:
A=raiz22 1 & -1 1 & 1 , A^4=-I2
n=4:
B= 0 & 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 , B^4=-I4
Geral n=2m:
A=diag(R,dots,R), R=raiz22 1 & -1[2pt] 1 & 1 , A^4=-I2m ]

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