Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar exemplos de matrizes reais quadradas tais que
ou, caso não existam, justificar por que não é possível.
Passo 2
Vamos usar a propriedade do determinante. Se é real, então
por outro lado
Logo
O lado esquerdo é sempre não–negativo, logo só pode igualar se este também for não–negativo. Como se, e somente se, é par, concluímos que não existem matrizes reais de ordem ímpar satisfazendo .
Passo 3
Para (o menor caso par) podemos usar a matriz de rotação no plano de ângulo :
Como uma rotação de ângulo satisfaz rotação de , temos
]
Passo 4
Para podemos usar a matriz companheira (companion) do polinômio característico . Defina
Pelo teorema de Cayley–Hamilton, B^4 + I4=0, ou seja,
B^4 = -I4
Passo 5
Em geral, para qualquer ordem par , basta tomar matriz bloco-diagonal com blocos iguais \u00e0 rotae7e3o de em :
onde
Cada bloco satisfaz , logo .]
Resposta
Ne3o existe solue7e3o real para n edmpar (pois det(A)^4=(-1)^n seria negativo).
Para n par, por exemplo: