Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
A^3=-I

Passo 1

O enunciado pede matrizes reais quadradas A tais que
A^3 = -I
O conteúdo principal é o estudo do polinômio mínimo de A e a forma canônica real, usando a fatoração de
t^3+1=(t+1)(t^2-t+1)
sobre R.

Passo 2

Analisando o polinômio
p(t)=t^3+1=(t+1)(t^2-t+1),
vemos que há uma raiz real -1 e duas raízes complexas 1pm iraiz32=e^pm ipi/3.
Em termos de blocos reais, A pode ser reduzida a blocos 1times1 com valor próprio -1 e blocos 2times2 que representam rotações de pm60^circ.

Passo 3

Exemplo trivial de tamanho 1times1:
A = -1
Aqui
A^3 = (-1)^3 = -1 = -I1

Passo 4

Exemplo não trivial de dimensão 2: rotação de 60^circ.
Defina
A = cos!(tfracpi3) & -sin!(tfracpi3)[6pt] sin!(tfracpi3) & cos!(tfracpi3) = tfrac12 & -tfracraiz32[3pt] tfracraiz32 & tfrac12
Como essa matriz gira de 60^circ, a terceira potência gira 180^circ, ou seja
A^3 = -1&00&-1 = -I2 ]

Passo 5

Para dimensões maiores, basta tomar soma direta (blocos em diagonal) de cópias dos exemplos acima. Por exemplo, em 3times3:
A = -1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & -tfracraiz32 0 & tfracraiz32 & tfrac12 ,
que combina um bloco 1times1 com valor -1 e um bloco 2times2 de rotação 60^circ. Nesse caso
A^3 = diagl((-1)^3,,(-I2)r) = diag(-1,,-I2) = -I3

Resposta

bul<=t Exemplo 1times1:
A = -1, A^3=-I1
bul<=t Exemplo 2times2:
A = tfrac12 & -tfracraiz32[3pt] tfracraiz32 & tfrac12 , A^3=-I2
bul<=t Em geral, qualquer soma direta de blocos -1 e blocos de rotação de 60^circ satisfaz A^3=-I.]

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