Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
Passo 1
O enunciado pede matrizes reais quadradas tais que
O conteúdo principal é o estudo do polinômio mínimo de e a forma canônica real, usando a fatoração de
sobre .
Passo 2
Analisando o polinômio
vemos que há uma raiz real e duas raízes complexas .
Em termos de blocos reais, pode ser reduzida a blocos com valor próprio e blocos que representam rotações de .
Passo 3
Exemplo trivial de tamanho :
Aqui
Passo 4
Exemplo não trivial de dimensão : rotação de .
Defina
Como essa matriz gira de 60^circ, a terceira potência gira 180^circ, ou seja
A^3 = -1&00&-1 = -I2 ]
Passo 5
Para dimensões maiores, basta tomar soma direta (blocos em diagonal) de cópias dos exemplos acima. Por exemplo, em 3times3: