Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
A^2=0 wed>= A neq 0

Passo 1

O enunciado pede uma matriz quadrada de entradas reais A tal que
A^2 = 0
mas A neq 0.
Isso envolve o conceito de matriz nilpotente de índice 2, ou seja, a menor potência de A que dá a matriz nula é 2.

Passo 2

Para dimensão 1times1, se A=(a) então
A^2=(a^2)=0implies a^2=0implies a=0,
logo A seria a matriz nula e não serve. Concluímos que a dimensão deve ser pelo menos 2.

Passo 3

No caso 2times2, podemos usar um bloco de Jordan de valor próprio zero e tamanho 2, isto é, uma matriz com zeros na diagonal e um 1 na posição acima da diagonal principal.

Passo 4

Definimos
A= 0 & 1 0 & 0
Calculamos
A^2 = 0 & 1 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0cdot0+1cdot0 & 0cdot1+1cdot0 0cdot0+0cdot0 & 0cdot1+0cdot0 = 0 & 0 0 & 0
Note que Aneq0 pois tem a entrada (1,2)=1.

Resposta

Um exemplo simples é
A= 0 & 1 0 & 0 ,
que satisfaz A^2=0 e Aneq0.

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