Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
Passo 1
O enunciado pede uma matriz quadrada de entradas reais tal que
mas .
Isso envolve o conceito de matriz nilpotente de índice 2, ou seja, a menor potência de que dá a matriz nula é 2.
Passo 2
Para dimensão , se então
logo seria a matriz nula e não serve. Concluímos que a dimensão deve ser pelo menos .
Passo 3
No caso , podemos usar um bloco de Jordan de valor próprio zero e tamanho 2, isto é, uma matriz com zeros na diagonal e um 1 na posição acima da diagonal principal.