Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
A^n=0 wed>= A^n-1 neq 0

Passo 1

O enunciado pede um exemplo, sempre que possível, de matriz real quadrada A tal que
A^n=0 e A^n-1neq 0
Isso significa construir uma matriz nilpotente cujo índice de nilpotência seja exatamente n. Vamos usar o bloco de Jordan nilpotente de ordem n.

Passo 2

Definimos a matriz JninR^ntimes n cujos únicos elementos não nulos são 1 na superdiagonal, ou seja,
(Jn)i,j = 1, & se j = i+1, 0, & caso contrário á
Em notação matricial:
Jn = 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 vdots & & ddots & ddots & vdots 0 & cdots & 0 & 0 & 1 0 & cdots & 0 & 0 & 0

Passo 3

Vamos ver o comportamento de
Logo:
  • Para em que dentro de , logo .
  • Para , existe exatamente um par , de modo que , portanto .

Passo 4

Como exemplo concreto, para n=3 tomamos
A = J3 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Verifica-se que A^3=0 e
A^2 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 neq 0

Resposta

Para todo inteiro
satisfaz exatamente .

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