Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo, sempre que possível, de matriz real quadrada
tal que
Isso significa construir uma matriz nilpotente cujo índice de nilpotência seja exatamente
. Vamos usar o bloco de Jordan nilpotente de ordem
.
Passo 2
Definimos a matriz
cujos únicos elementos não nulos são
na superdiagonal, ou seja,
Em notação matricial:
Passo 3
Vamos ver o comportamento de
Logo:
- Para em que
dentro de , logo . - Para
, existe exatamente um par , de modo que , portanto .
Passo 4
Como exemplo concreto, para
n=3 tomamos
Verifica-se que
A^3=0 e
Resposta
Para todo inteiro
satisfaz exatamente .