Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas
e
de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
Passo 1
O enunciado pede exemplos de matrizes quadradas reais
e
tais que
O conteúdo envolvido é álgebra de matrizes, em especial a expansão de
e a condição de comutatividade entre
e
.
Passo 2
Vamos expandir o quadrado da soma em matrizes:
Para que isso seja igual a
, precisamos ter
Ou seja, a condição necessária e suficiente para
, é que
e
comutem.
Passo 3
Concluímos que sempre que
e
comutam a identidade vale, e nenhum par não comutativo satisfaz a igualdade.
Passo 4
Um exemplo simples que satisfaz a condição é escolher
e
diagonais, pois matrizes diagonais comutam. Por exemplo, em dimensão
:
Aqui
, e de fato
e somando dá
Passo 5
Para mostrar que não existe par
não comutativo que satisfaça a igualdade, basta notar que sempre
e se
então
, de modo que
Resposta
A igualdade
vale se e somente se
e
comutam (
). Exemplo concreto:
Não há exemplo de matrizes que não comutem e, ainda assim, satisfaçam a igualdade.