Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas A e B de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
(A+B)^2=A^2+B^2+2 A B

Passo 1

O enunciado pede exemplos de matrizes quadradas reais A e B tais que
(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2,A B
O conteúdo envolvido é álgebra de matrizes, em especial a expansão de (A+B)^2 e a condição de comutatividade entre A e B.

Passo 2

Vamos expandir o quadrado da soma em matrizes:
(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2 + A B + B A + B^2
Para que isso seja igual a A^2+B^2+2,A B, precisamos ter
A B + B A = 2,A B Long<=ftrightarrow B A = A B
Ou seja, a condição necessária e suficiente para
,(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2,A B, é que A e B comutem.

Passo 3

Concluímos que sempre que A e B comutam a identidade vale, e nenhum par não comutativo satisfaz a igualdade.

Passo 4

Um exemplo simples que satisfaz a condição é escolher A e B diagonais, pois matrizes diagonais comutam. Por exemplo, em dimensão 2:
A = 1 & 0[6pt]0 & 2, B = 3 & 0[6pt]0 & 4
Aqui AB=BA, e de fato
A+B = 4 & 0[3pt]0 & 6, (A+B)^2 = 16 & 0[3pt]0 & 36,
A^2 = 1 & 0[3pt]0 & 4, B^2 = 9 & 0[3pt]0 & 16, 2AB = 23 & 0[3pt]0 & 8 =6 & 0[3pt]0 & 16,
e somando dá
A^2 + B^2 + 2AB = 1+9+6 & 0[3pt]0 & 4+16+16 = 16 & 0[3pt]0 & 36 = (A+B)^2 ]

Passo 5

Para mostrar que não existe par (A,B) não comutativo que satisfaça a igualdade, basta notar que sempre
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
e se ABneq BA então AB+BAneq 2AB, de modo que
(A+B)^2 neq A^2 + B^2 + 2AB

Resposta

A igualdade (A+B)^2=A^2+B^2+2AB vale se e somente se A e B comutam ( AB=BA). Exemplo concreto:
A=1&00&2, B=3&00&4
Não há exemplo de matrizes que não comutem e, ainda assim, satisfaçam a igualdade.

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