l x sen 10^circ-y cos 10^circ=-1sen 50^circ x sen 50^circ+y cos 50^circ=1sen 10^circ
O valor de y^2 na forma de uma fração irredutível ab é:
a=
square
b=
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve funções trigonométricas. O objetivo é encontrar o valor de $ y^2 $ na forma de uma fração irredutível $ \frac{a}{b} $. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria e álgebra, especificamente sobre como resolver sistemas de equações lineares. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
l x cdot sin 10^circ - y cdot cos 10^circ = -1sin 50^circ x cdot sin 50^circ + y cdot cos 50^circ = 1sin 10^circ
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas: $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método da eliminação. A ideia é manipular as equações para eliminar uma das variáveis, facilitando a resolução.
Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por $ \sin 50^{\circ} $ e a segunda equação por $ \sin 10^{\circ} $ para eliminar as frações:
sin 50^circ

Passo 4

Observamos que os termos com $ x $ são iguais e podem ser subtraídos para eliminar $ x $:
x
Simplificando:
x

Passo 5

Fatorando $ y $:
y
Podemos usar a identidade trigonométrica:
y cdot ( -sin 50^circ cdot cos 10^circ - sin 10^circ cdot cos 50^circ ) = -2
Aplicando isso:
sin A cos B + cos A sin B = sin(A + B)
Então, temos:
-( sin 50^circ cdot cos 10^circ + sin 10^circ cdot cos 50^circ ) = -sin(50^circ + 10^circ) = -sin 60^circ

Passo 6

Isolando $ y $:
y
Sabemos que $ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
y = -2-sin 60^circ = 2sin 60^circ
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{3} $:
sin 60^circ = raiz32

Passo 7

Agora, vamos calcular $ y^2 $:
y^2
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3:
y^2 = ( 4 raiz33 )^2 = 16 cdot 39 = 489

Resposta

a=16
square
b=3
square

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