O valor de
na forma de uma fração irredutível
é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve funções trigonométricas. O objetivo é encontrar o valor de $ y^2 $ na forma de uma fração irredutível $ \frac{a}{b} $. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria e álgebra, especificamente sobre como resolver sistemas de equações lineares. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para facilitar a visualização:
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas: $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema usando o método da eliminação. A ideia é manipular as equações para eliminar uma das variáveis, facilitando a resolução.
Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por $ \sin 50^{\circ} $ e a segunda equação por $ \sin 10^{\circ} $ para eliminar as frações:
Passo 4
Observamos que os termos com $ x $ são iguais e podem ser subtraídos para eliminar $ x $:
Simplificando:
Passo 5
Fatorando $ y $:
Podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Então, temos:
Passo 6
Isolando $ y $:
Sabemos que $ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt{3} $:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ y^2 $:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 3: