Para certa espécie de árvore, um biólogo observou que as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco das árvores, desde o instante em quẹ foram plantadas e ao longo de período de 10 anos, poderiam ser dadas pelas seguintes expressōes:
em que a altura a é dada em metros, o diâmetro dé medido em metros, e trepresenta o tempo em anos. Suponha que uma árvore dessa espécie apresente
de altura.
Nesse sentido, essa árvore apresentará um tronco cujo diâmetro mede:
A.
B.
.
C.
D.
.
E.
Nesse sentido, essa árvore apresentará um tronco cujo diâmetro mede:
A.
B.
C.
D.
E.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos duas fórmulas que relacionam o tempo (em anos) com a altura e o diâmetro do tronco de uma árvore:
Aqui,
é a altura em metros,
é o diâmetro em metros, e
é o tempo em anos. Queremos descobrir o diâmetro do tronco (
) de uma árvore que tem 3,1 metros de altura.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a fórmula da altura para encontrar o tempo
que decorreu até a árvore atingir 3,1 metros. A fórmula é:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 3
Subtraímos 1 de ambos os lados da equação:
Passo 4
Agora, dividimos ambos os lados por 0,7 para isolar o logaritmo:
Passo 5
Para resolver a equação logarítmica, vamos reescrever em forma exponencial. Sabemos que:
Então:
Passo 6
Subtraímos 1 de ambos os lados para encontrar
:
Passo 7
Agora que sabemos que passaram 7 anos, usamos a fórmula do diâmetro para encontrar
:
Passo 8
Calculamos
:
Então:
Resposta
A árvore terá um tronco com diâmetro de
. No entanto, como nenhuma das opções corresponde a esse valor, pode haver um erro na interpretação das fórmulas ou nos cálculos. Revendo os passos, percebemos que a fórmula do diâmetro provavelmente deveria ser
, onde
é o tempo em anos. Com
anos:
Mas nenhuma opção corresponde a 51,2 m. Reavaliando o problema, percebemos que pode haver uma interpretação diferente das fórmulas ou um erro nas opções fornecidas.