Para certa espécie de árvore, um biólogo observou que as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco das árvores, desde o instante em quẹ foram plantadas e ao longo de período de 10 anos, poderiam ser dadas pelas seguintes expressōes:
c a=1+0,7 cdot log 2(t+1) d=0,4 cdot 2^t
em que a altura a é dada em metros, o diâmetro dé medido em metros, e trepresenta o tempo em anos. Suponha que uma árvore dessa espécie apresente 3,1 m de altura.
Nesse sentido, essa árvore apresentará um tronco cujo diâmetro mede:
A. 7,0 m
B. 0,8 m.
C. 1,7 m
D. 0,5 m.
E. 1,1 m

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos duas fórmulas que relacionam o tempo (em anos) com a altura e o diâmetro do tronco de uma árvore:
a = 1 + 0,7 cdot log2(t+1)
d = 0,4 cdot 2^t
Aqui, é a altura em metros, é o diâmetro em metros, e é o tempo em anos. Queremos descobrir o diâmetro do tronco ( ) de uma árvore que tem 3,1 metros de altura.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a fórmula da altura para encontrar o tempo 3,1 = 1 + 0,7 cdot log2(t+1) que decorreu até a árvore atingir 3,1 metros. A fórmula é:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 3

Subtraímos 1 de ambos os lados da equação:
3,1 - 1 = 0,7 cdot log2(t+1)
2,1 = 0,7 cdot log2(t+1)

Passo 4

Agora, dividimos ambos os lados por 0,7 para isolar o logaritmo:
2,10,7 = log2(t+1)
3 = log2(t+1)

Passo 5

Para resolver a equação logarítmica, vamos reescrever em forma exponencial. Sabemos que:
logb(x) = y é equiva<=nte a b^y = x é
Então:
2^3 = t + 1
8 = t + 1

Passo 6

Subtraímos 1 de ambos os lados para encontrar t = 8 - 1 :
t = 7 anos

Passo 7

Agora que sabemos que passaram 7 anos, usamos a fórmula do diâmetro para encontrar d = 0,4 cdot 2^t :
d = 0,4 cdot 2^7

Passo 8

Calculamos 2^7 = 128 :
d = 0,4 cdot 128
Então:
d = 51,2 metros

Resposta

A árvore terá um tronco com diâmetro de d = 0,4 cdot 2^7 = 0,4 cdot 128 = 51,2 m . No entanto, como nenhuma das opções corresponde a esse valor, pode haver um erro na interpretação das fórmulas ou nos cálculos. Revendo os passos, percebemos que a fórmula do diâmetro provavelmente deveria ser , onde é o tempo em anos. Com anos:
Mas nenhuma opção corresponde a 51,2 m. Reavaliando o problema, percebemos que pode haver uma interpretação diferente das fórmulas ou um erro nas opções fornecidas.

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