© integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla
integralx=-1^2integraly=1^x^2integralz=0^x+y2x^2y,dz,dy,dx
O conteúdo aqui é integração iterada de funções polinomiais. Vamos integrar em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Como a integranda 2x^2y não depende de z, usamos
integral0^x+y2x^2y,dz = 2x^2yl[(x+y)-0r] = 2x^2y(x+y)

Passo 3

A integral reduz-se a
integral-1^2integral1^x^2l(2x^2y(x+y)r),dy,dx = integral-1^2integral1^x^2l(2x^3y + 2x^2y^2r),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integral1^x^2(2x^3y + 2x^2y^2),dy =2x^3y^22|1^x^2 + 2x^2y^33|1^x^2
Calculando os limites:
= x^3l(x^4 - 1r) + 2x^23l(x^6 - 1r) = x^7 - x^3 + 2x^83 - 2x^23

Passo 5

Restou a integral em x:
integral-1^2l(x^7 - x^3 + 2x^83 - 2x^23r),dx
O antiderivado é
F(x)=x^88 - x^44 + 2x^927 - 2x^39
Avaliamos de x=-1 até x=2.

Passo 6

Calculamos
F(2)=32 - 4 + 102427 - 169 = 173227,
F(-1)=18 - 14 - 227 + 29 = 5216
Então o valor da integral é
173227 - 5216 = 13856 - 5216 = 13851216 = 5138

Resposta

513/8

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