Verifique que yp 2=x^2+3 x é uma solução particular de
y^prime prime-6 y^prime+5 y=5 x^2+3 x-16

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função particular yp2 = x^2 + 3x satisfaz a equação diferencial y''-6y'+5y = 5x^2 + 3x - 16. O conteúdo aqui é substituição direta em uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de yp2. Como y = x^2 + 3x, temos:
y' = 2x + 3
y'' = 2

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na expressão y'' - 6y' + 5y:
y'' - 6y' + 5y = 2 - 6(2x+3) + 5(x^2+3x)

Passo 4

Agora distribuímos e combinamos termos semelhantes:
2 - 12x - 18 + 5x^2 + 15x = 5x^2 + (15x - 12x) + (2 - 18)

Passo 5

Isso dá
5x^2 + 3x - 16

Passo 6

Que coincide exatamente com o segundo membro da equação dada, isto é, 5x^2 + 3x - 16.

Resposta

Como a substituição resulta em 5x^2 + 3x - 16, concluímos que yp2=x^2+3x é realmente uma solução particular da EDO dada.

Exercícios relacionados