Seja
a função definida por
Encontre
e
e diga se existe
Encontre
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício sobre derivadas laterais de uma função que muda de expressão no ponto $ x = 1
f_{+}^{\prime}(1)
f_{-}^{\prime}(1) $) de $ f(x) $ no ponto 1, e ver se a derivada $ f^{\prime}(1) $ existe. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e entender como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $. Ela é definida de duas formas:
- Para $ x < 1 $, $ f(x) = x^2 $
- Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = 2x - 1 $
Isso significa que a função tem duas “caras” diferentes dependendo de onde $ x $ está em relação a 1.
Passo 3
Para encontrar a derivada à esquerda, $ f_{-}^{\prime}(1) $, vamos olhar para a parte da função quando $ x < 1 $, ou seja, $ f(x) = x^2 $. A derivada de $ x^2 $ é $ 2x $. Então, substituímos $ x = 1 $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada à direita, $ f_{+}^{\prime}(1) $. Aqui, usamos a parte da função para $ x \geq 1 $, que é $ f(x) = 2x - 1 $. A derivada de $ 2x - 1 $ é simplesmente $ 2 $, já que a constante desaparece e o coeficiente de $ x $ é 2.
Passo 5
Para determinar se a derivada $ f^{\prime}(1) $ existe, precisamos ver se as derivadas à direita e à esquerda são iguais. No nosso caso, vimos que:
Como ambas são iguais, a derivada $ f^{\prime}(1) $ existe e é igual a esse valor comum.
Resposta
As derivadas laterais em $ x = 1 $ são $ f_{-}^{\prime}(1) = 2 $ e $ f_{+}^{\prime}(1) = 2 $. Como elas são iguais, a derivada $ f^{\prime}(1) $ existe e vale 2.