Seja f a função definida por f(x)=cx^2 , se x<1 2 x-1 , se x >= 1
Encontre f+^prime(1) e f-^prime(1) e diga se existe f^prime(1)

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício sobre derivadas laterais de uma função que muda de expressão no ponto $ x = 1 x = 1 à f_{+}^{\prime}(1) f+^prime(1) à f_{-}^{\prime}(1) $) de $ f(x) $ no ponto 1, e ver se a derivada $ f^{\prime}(1) $ existe. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e entender como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $. Ela é definida de duas formas:
  • Para $ x < 1 $, $ f(x) = x^2 $
  • Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = 2x - 1 $
Isso significa que a função tem duas “caras” diferentes dependendo de onde $ x $ está em relação a 1.

Passo 3

Para encontrar a derivada à esquerda, $ f_{-}^{\prime}(1) $, vamos olhar para a parte da função quando $ x < 1 $, ou seja, $ f(x) = x^2 $. A derivada de $ x^2 $ é $ 2x $. Então, substituímos $ x = 1 $:
f-^prime(1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada à direita, $ f_{+}^{\prime}(1) $. Aqui, usamos a parte da função para $ x \geq 1 $, que é $ f(x) = 2x - 1 $. A derivada de $ 2x - 1 $ é simplesmente $ 2 $, já que a constante desaparece e o coeficiente de $ x $ é 2.
f+^prime(1)

Passo 5

Para determinar se a derivada $ f^{\prime}(1) $ existe, precisamos ver se as derivadas à direita e à esquerda são iguais. No nosso caso, vimos que:
f^prime(1)
Como ambas são iguais, a derivada $ f^{\prime}(1) $ existe e é igual a esse valor comum.

Resposta

As derivadas laterais em $ x = 1 $ são $ f_{-}^{\prime}(1) = 2 $ e $ f_{+}^{\prime}(1) = 2 $. Como elas são iguais, a derivada $ f^{\prime}(1) $ existe e vale 2.

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