Se sen x=13 e sec y=54, onde x e y estão entre 0 e pi / 2, calcule a expressão.
cos (x+y)

Passo 1

O enunciado diz que sin x = tfrac13 e sec y = tfrac54, com x,yin(0,tfracpi2). Queremos calcular cos(x+y). Para isso vamos usar:
– Identidade pitagórica cos^2theta + sin^2theta =1
– Fórmula de soma de ângulos para cosseno:
cos(x+y)=cos xcos y - sin xsin y

Passo 2

Primeiro obtemos cos x a partir de sin x:
cos x = raiz1 - sin^2x = raiz1 - l(tfrac13r)^2 = raiztfrac89 = tfrac2raiz23
Como sec y=tfrac54, temos cos y=tfrac45. Então
sin y = raiz1 - cos^2y = raiz1 - l(tfrac45r)^2 = raiztfrac925 = tfrac35

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de soma de ângulos:
cos(x+y) = cos x,cos y ;-;sin x,sin y = 2raiz23cdot45 - 13cdot35 = 8raiz215 - 315

Passo 4

Colocando numa só fração:
cos(x+y) = 8raiz2 - 315

Resposta

8raiz2 - 315

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