∫ sen^{2} x · cos ^{4} x dx
Passo 1
O que o problema pede: calcular uma primitiva (antiderivada) da função cujo integral é
Informações dadas: a integranda é o produto de potências pares de seno e cosseno:
e
. Não há limites, então queremos uma antiderivada mais constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (sem realizar ainda): quando as potências de seno e cosseno são pares, é muito eficiente usar identidades de redução de potência (fórmulas de ângulo duplo) para escrever tudo em somas de cossenos com argumentos múltiplos de
. Vou usar as identidades básicas:
Também vou usar, mais adiante, a identidade para
(vinda da fórmula do cosseno do triplo ângulo):
Explico o porquê: essas fórmulas transformam produtos de potências em somas de cossenos simples, que são fáceis de integrar (porque
).
Passo 3
Aplicar as identidades para escrever a integranda de forma mais manejável.
Primeiro,
E
Logo o produto é
Passo 4
Expandir o produto em termos de
para simplificar:
Substituindo de volta,
Portanto
Passo 5
Reduzir
e
usando fórmulas:
pois
(deriva da identidade
).
Substituindo essas expressões em
obtemos
Passo 6
Simplificar a expressão passo a passo. Dentro dos parênteses:
Combine termos constantes e termos em
:
constante: .
:
.
Logo o conteúdo fica
constante:
Logo o conteúdo fica
Multiplicando tudo por
(lembrando o fator externo), chegamos à forma final integranda simples:
Passo 7
Agora integramos termo a termo, usando
:
Passo 8
Somando todos os termos e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva: