∫ sen^{2} x · cos ^{4} x dx

Passo 1

O que o problema pede: calcular uma primitiva (antiderivada) da função cujo integral é
\int \sin^{2}x\cdot \cos^{4}x\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de potências pares de seno e cosseno: \sin^{2}x e \cos^{4}x. Não há limites, então queremos uma antiderivada mais constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (sem realizar ainda): quando as potências de seno e cosseno são pares, é muito eficiente usar identidades de redução de potência (fórmulas de ângulo duplo) para escrever tudo em somas de cossenos com argumentos múltiplos de x. Vou usar as identidades básicas:
\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Também vou usar, mais adiante, a identidade para \cos^{3}\theta (vinda da fórmula do cosseno do triplo ângulo):
\cos^{3}\theta=\frac{1}{4}\bigl(3\cos\theta+\cos 3\theta\bigr).
Explico o porquê: essas fórmulas transformam produtos de potências em somas de cossenos simples, que são fáceis de integrar (porque \int \cos(kx)\,dx=(1/k)\sin(kx)).

Passo 3

Aplicar as identidades para escrever a integranda de forma mais manejável.
Primeiro,
\cos^{4}x=(\cos^{2}x)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^{2}=\frac{1+2\cos 2x+\cos^{2}2x}{4}.
E
\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}.
Logo o produto é
\sin^{2}x\cdot\cos^{4}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\cdot\frac{1+2\cos 2x+\cos^{2}2x}{4}=\frac{1}{8}\bigl(1-\cos 2x\bigr)\bigl(1+2\cos 2x+\cos^{2}2x\bigr).

Passo 4

Expandir o produto em termos de c=\cos 2x para simplificar:
(1-c)(1+2c+c^{2})=1+2c+c^{2}-c-2c^{2}-c^{3}=1+c-c^{2}-c^{3}.
Substituindo de volta,
\sin^{2}x\cdot\cos^{4}x=\frac{1+c-c^{2}-c^{3}}{8}\qquad\text{com }c=\cos 2x.
Portanto
\int \sin^{2}x\cos^{4}x\,dx=\frac{1}{8}\int\bigl(1+\cos 2x-\cos^{2}2x-\cos^{3}2x\bigr)\,dx.

Passo 5

Reduzir \cos^{2}2x e \cos^{3}2x usando fórmulas:
\cos^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2},
\cos^{3}2x=\frac{1}{4}\bigl(3\cos 2x+\cos 6x\bigr),
pois \cos^{3}\theta=(\cos 3\theta+3\cos\theta)/4 (deriva da identidade \cos 3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta).
Substituindo essas expressões em \dfrac{1}{8}\bigl(1+\cos 2x-\cos^{2}2x-\cos^{3}2x\bigr) obtemos
\frac{1}{8}\Bigl(1+\cos 2x-\frac{1+\cos 4x}{2}-\frac{1}{4}(3\cos 2x+\cos 6x)\Bigr).

Passo 6

Simplificar a expressão passo a passo. Dentro dos parênteses:
1+\cos 2x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 4x-\frac{3}{4}\cos 2x-\frac{1}{4}\cos 6x.
Combine termos constantes e termos em \cos 2x:
constante: 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
\cos 2x: 1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}.
Logo o conteúdo fica
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cos 2x-\frac{1}{2}\cos 4x-\frac{1}{4}\cos 6x.
Multiplicando tudo por \tfrac{1}{8} (lembrando o fator externo), chegamos à forma final integranda simples:
\sin^{2}x\cos^{4}x=\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos 2x-\frac{1}{16}\cos 4x-\frac{1}{32}\cos 6x.

Passo 7

Agora integramos termo a termo, usando \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx):
\int \frac{1}{16}\,dx=\frac{x}{16},
\int \frac{1}{32}\cos 2x\,dx=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{1}{64}\sin 2x,
\int -\frac{1}{16}\cos 4x\,dx=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}\sin 4x=-\frac{1}{64}\sin 4x,
\int -\frac{1}{32}\cos 6x\,dx=-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{6}\sin 6x=-\frac{1}{192}\sin 6x.

Passo 8

Somando todos os termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva:
\boxed{\frac{x}{16}+\frac{1}{64}\sin 2x-\frac{1}{64}\sin 4x-\frac{1}{192}\sin 6x+C.}

Resposta

\displaystyle \frac{x}{16}+\frac{1}{64}\sin 2x-\frac{1}{64}\sin 4x-\frac{1}{192}\sin 6x+C

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