∫ cos ^{3} x dx

Passo 1

Enunciado: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos^{3} x \, dx.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de \cos^{3}x, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos^{3}x. Não há outras informações dadas.

Passo 2

Escolha do método: quando uma potência de cosseno é ímpar (aqui o expoente é 3), a técnica mais simples e comum é separar um fator \cos x e usar a identidade pitagórica \cos^{2}x = 1-\sin^{2}x, depois fazer a substituição u=\sin x. Outra possibilidade seria usar a identidade de ângulo triplo \cos^{3}x = \tfrac{1}{4}(3\cos x + \cos 3x), mas isso envolve identidades um pouco menos óbvias; por isso escolhi a primeira abordagem — é mais básica e rápida na prova.

Passo 3

Reescrever a integranda usando a ideia de separar um \cos x:
\cos^{3}x=\cos x\cdot \cos^{2}x=\cos x\,(1-\sin^{2}x),
onde usei a identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, então \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Essa manipulação é bastante útil porque deixa um fator \cos x que combina bem com a derivada de \sin x.

Passo 4

Aplicar a substituição u=\sin x. Calcule o diferencial:
u=\sin x \quad\Rightarrow\quad du=\cos x\,dx.
Como há um fator \cos x\,dx na integral reescrita, essa substituição transforma a integral em um polinômio em u, que é fácil de integrar.

Passo 5

Fazer a troca na integral. Partindo de
\int \cos^{3}x\,dx=\int \cos x\,(1-\sin^{2}x)\,dx,
usando u=\sin x e du=\cos x\,dx obtemos
\int (1-u^{2})\,du.
Agora integramos termo a termo usando a regra da potência para integrais: \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1). Assim,
\int (1-u^{2})\,du=\int 1\,du-\int u^{2}\,du = u - \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 6

Voltar à variável original x substituindo u=\sin x:
u-\frac{u^{3}}{3}+C = \sin x - \frac{\sin^{3}x}{3} + C.
Esse é o resultado final da integração.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\sin x - \frac{\sin^{3}x}{3}\right) = \cos x - \frac{1}{3}\cdot 3\sin^{2}x\cos x = \cos x\,(1-\sin^{2}x)=\cos x\cdot \cos^{2}x=\cos^{3}x,
portanto a primitiva está correta.

Resposta

\sin x - \dfrac{\sin^{3}x}{3} + C

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