∫ cos ^{3} x dx
Passo 1
Enunciado: calcular a integral indefinida
.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de , isto é, uma função
tal que
. Não há outras informações dadas.
O que é pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) de
Passo 2
Escolha do método: quando uma potência de cosseno é ímpar (aqui o expoente é
), a técnica mais simples e comum é separar um fator
e usar a identidade pitagórica
, depois fazer a substituição
. Outra possibilidade seria usar a identidade de ângulo triplo
, mas isso envolve identidades um pouco menos óbvias; por isso escolhi a primeira abordagem — é mais básica e rápida na prova.
Passo 3
Reescrever a integranda usando a ideia de separar um
:
onde usei a identidade pitagórica
, então
. Essa manipulação é bastante útil porque deixa um fator
que combina bem com a derivada de
.
Passo 4
Aplicar a substituição
. Calcule o diferencial:
Como há um fator
na integral reescrita, essa substituição transforma a integral em um polinômio em
, que é fácil de integrar.
Passo 5
Fazer a troca na integral. Partindo de
usando
e
obtemos
Agora integramos termo a termo usando a regra da potência para integrais:
(para
). Assim,
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
:
Esse é o resultado final da integração.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a resposta obtemos
portanto a primitiva está correta.