∫ sen^{2} x · cos ^{3} x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
A variável de integração é
. Não há limites (é uma primitiva).
Passo 2
Vou escolher um método prático que funciona muito bem para integrais de potências de seno e cosseno: fatorar uma potência de cosseno para obter um termo
que seja o diferencial de
. Essa ideia funciona porque a derivada de
é
. Não se preocupe, vou explicar passo a passo porque isso é conveniente.
Passo 3
Primeiro reorganizo a potência de
escrevendo
. Então a integral fica
Agora uso a identidade pitagórica básica
da qual segue isolando
:
Substituindo isso na integranda temos
Passo 4
Faço a substituição conveniente. Defino a nova variável
Então o diferencial é
Note que isto é exatamente o fator
que já temos na integral, por isso a substituição é direta. Substituindo
e
obtemos uma integral em polinômio de
:
Passo 5
Expando o integrando e aplico a regra de potência para integrais: para
vale
. Então
Passo 6
Volto à variável original
lembrando que
. Assim a primitiva fica
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivo o resultado para ver se volto à integranda. Derivando
Usando
obtemos
que é exatamente a integranda original. Tudo bate certinho — ótima notícia!