∫ sen^{2} x · cos ^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sin^{2} x \cdot \cos^{3} x \, dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{a integranda é } \sin^{2}x\cos^{3}x.é
A variável de integração é x. Não há limites (é uma primitiva).

Passo 2

Vou escolher um método prático que funciona muito bem para integrais de potências de seno e cosseno: fatorar uma potência de cosseno para obter um termo \cos x\,dx que seja o diferencial de \sin x. Essa ideia funciona porque a derivada de \sin x é \cos x. Não se preocupe, vou explicar passo a passo porque isso é conveniente.

Passo 3

Primeiro reorganizo a potência de \cos escrevendo \cos^{3}x=\cos^{2}x\cdot\cos x. Então a integral fica
\int \sin^{2}x\cdot\cos^{2}x\cdot\cos x \, dx.
Agora uso a identidade pitagórica básica
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,
da qual segue isolando \cos^{2}x:
\cos^{2}x=1-\sin^{2}x.
Substituindo isso na integranda temos
\int \sin^{2}x\bigl(1-\sin^{2}x\bigr)\cos x \, dx.

Passo 4

Faço a substituição conveniente. Defino a nova variável
u=\sin x.
Então o diferencial é
du=\cos x\,dx.
Note que isto é exatamente o fator \cos x\,dx que já temos na integral, por isso a substituição é direta. Substituindo u e du obtemos uma integral em polinômio de u:
\int u^{2}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du.

Passo 5

Expando o integrando e aplico a regra de potência para integrais: para n\neq -1 vale \displaystyle\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C. Então
\int u^{2}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du=\int\bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du
=\int u^{2}\,du-\int u^{4}\,du
=\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}+C.

Passo 6

Volto à variável original x lembrando que u=\sin x. Assim a primitiva fica
\frac{\sin^{3}x}{3}-\frac{\sin^{5}x}{5}+C.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivo o resultado para ver se volto à integranda. Derivando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin^{3}x}{3}-\frac{\sin^{5}x}{5}\right) =\sin^{2}x\cos x-\sin^{4}x\cos x =\sin^{2}x\bigl(1-\sin^{2}x\bigr)\cos x.
Usando 1-\sin^{2}x=\cos^{2}x obtemos
\sin^{2}x\cos^{2}x\cos x=\sin^{2}x\cos^{3}x,
que é exatamente a integranda original. Tudo bate certinho — ótima notícia!

Resposta

\frac{\sin^{3}x}{3}-\frac{\sin^{5}x}{5}+C

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