∫ sen^{3} x · cos ^{3} x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é o produto de potências ímpares de seno e cosseno, especificamente
e
. Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (por que isso ajuda): quando temos potências ímpares de seno e/ou cosseno, é comum separar um fator
ou
para formar um
via substituição, e reescrever o restante usando
ou
. Aqui ambas as potências são ímpares, então eu vou separar um produto
para usar numa substituição conveniente. Faço a fatoração
Isso deixa um produto
que pode virar
facilmente se escolhemos a substituição certa.
Passo 3
Escolho a substituição
Agora explico o porquê: se
, então diferenciando ambos os lados obtemos
ou seja
Além disso, usando
temos
pois
. Essas duas relações permitem reescrever toda a integral em função de
.
Passo 4
Substituindo na integral original:
Colocando o fator
fora da integral:
Passo 5
Agora integramos o polinômio em
. Lembre que
Aplicando ao integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original usando
:
Esse é um antiderivada da função dada.
Passo 7
Verificação rápida (confirmação): calculando a derivada de
temos
ou seja, recuperamos o integrando, portanto a antiderivada está correta. Força aí — você conseguiu!