∫ sen^{3} x · cos ^{3} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{3}x\cdot\cos^{3}x\;dx.
Informações dadas: o integrando é o produto de potências ímpares de seno e cosseno, especificamente \sin^{3}x e \cos^{3}x. Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (por que isso ajuda): quando temos potências ímpares de seno e/ou cosseno, é comum separar um fator \sin x ou \cos x para formar um du via substituição, e reescrever o restante usando \sin^{2}x=1-\cos^{2}x ou \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Aqui ambas as potências são ímpares, então eu vou separar um produto \sin x\cos x para usar numa substituição conveniente. Faço a fatoração
\sin^{3}x\cos^{3}x=(\sin^{2}x\cos^{2}x)\cdot(\sin x\cos x).
Isso deixa um produto \sin x\cos x\;dx que pode virar dt facilmente se escolhemos a substituição certa.

Passo 3

Escolho a substituição
t=\sin^{2}x.
Agora explico o porquê: se t=\sin^{2}x, então diferenciando ambos os lados obtemos
dt=2\sin x\cos x\;dx,
ou seja
\sin x\cos x\;dx=\frac{dt}{2}.
Além disso, usando t=\sin^{2}x temos
\sin^{2}x\cos^{2}x = (\sin^{2}x)(1-\sin^{2}x)=t(1-t),
pois \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Essas duas relações permitem reescrever toda a integral em função de t.

Passo 4

Substituindo na integral original:
\int \sin^{3}x\cos^{3}x\;dx = \int (\sin^{2}x\cos^{2}x)\cdot(\sin x\cos x)\;dx = \int t(1-t)\cdot\frac{dt}{2}.
Colocando o fator 1/2 fora da integral:
\int \sin^{3}x\cos^{3}x\;dx=\frac{1}{2}\int (t - t^{2})\;dt.

Passo 5

Agora integramos o polinômio em t. Lembre que
\int t\;dt=\frac{t^{2}}{2},\qquad \int t^{2}\;dt=\frac{t^{3}}{3}.
Aplicando ao integrando:
\frac{1}{2}\int (t-t^{2})\;dt=\frac{1}{2}\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{3}}{3}\right) =\frac{t^{2}}{4}-\frac{t^{3}}{6}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original usando t=\sin^{2}x:
\frac{t^{2}}{4}-\frac{t^{3}}{6}+C =\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{4}-\frac{(\sin^{2}x)^{3}}{6}+C =\frac{\sin^{4}x}{4}-\frac{\sin^{6}x}{6}+C.
Esse é um antiderivada da função dada.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação): calculando a derivada de
F(x)=\frac{\sin^{4}x}{4}-\frac{\sin^{6}x}{6}
temos
F'(x)=\sin^{3}x\cos x - \sin^{5}x\cos x =\sin^{3}x\cos x(1-\sin^{2}x) =\sin^{3}x\cos x\cos^{2}x =\sin^{3}x\cos^{3}x,
ou seja, recuperamos o integrando, portanto a antiderivada está correta. Força aí — você conseguiu!

Resposta

\dfrac{\sin^{4}x}{4}-\dfrac{\sin^{6}x}{6}+C

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