∫ sen 3 x · cos 5 x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sen} 3x\cdot \cos 5x\;dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de \operatorname{sen} e \cos com argumentos lineares em x (respectivamente 3x e 5x). O objetivo é encontrar uma antiderivada (ou seja, uma função cuja derivada seja \operatorname{sen} 3x\cdot \cos 5x), mais uma constante de integração.

Passo 2

Escolhi usar a identidade produto-para-soma porque transforma o produto \operatorname{sen} A\cos B em soma de senos, e integrar somas de senos é direto. Vou mostrar de onde vem essa identidade (passo-a-passo) para você decorar/entender: as fórmulas de soma para seno são
\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen} A\cos B+\cos A\operatorname{sen} B
\operatorname{sen}(A-B)=\operatorname{sen} A\cos B-\cos A\operatorname{sen} B
Se somarmos as duas equações membro a membro, o termo com \cos A\operatorname{sen} B cancela:
\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)=2\operatorname{sen} A\cos B.
Isolando o produto, obtemos a identidade produto-para-soma:
\operatorname{sen} A\cos B=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\big).

Passo 3

Agora aplico essa identidade com A=3x e B=5x. Então
\operatorname{sen} 3x\cos 5x=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(3x+5x)+\operatorname{sen}(3x-5x)\big)=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 8x+\operatorname{sen}(-2x)\big).
Como \operatorname{sen}(-2x)=-\operatorname{sen} 2x, isso vira
\operatorname{sen} 3x\cos 5x=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 8x-\operatorname{sen} 2x\big).

Passo 4

Substituo na integral e uso linearidade (a integral da soma é soma das integrais; constante pode sair):
\int \operatorname{sen} 3x\cos 5x\;dx=\int \frac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 8x-\operatorname{sen} 2x\big)\;dx=\frac{1}{2}\left(\int \operatorname{sen} 8x\;dx-\int \operatorname{sen} 2x\;dx\right).

Passo 5

Lembro (e explico) a fórmula básica: para constante k\neq 0,
\int \operatorname{sen}(kx)\;dx=-\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
Derivação rápida dessa fórmula: faça u=kx, então du=k\,dx e dx=du/k. A integral fica \int \operatorname{sen} u\cdot \frac{du}{k}=\frac{1}{k}\int \operatorname{sen} u\,du=-\frac{1}{k}\cos u+C=-\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
Aplico a cada termo:
\int \operatorname{sen} 8x\;dx=-\frac{1}{8}\cos 8x + C_1,
\int \operatorname{sen} 2x\;dx=-\frac{1}{2}\cos 2x + C_2.
Substituindo em (Passo 4) e combinando constantes:
\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{8}\cos 8x -\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right)\right) =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{8}\cos 8x+\frac{1}{2}\cos 2x\right).
Multiplicando a \frac{1}{2}:
-\frac{1}{16}\cos 8x+\frac{1}{4}\cos 2x + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar tranquilo): derivo a resposta para ver se volto à integranda. Derivada de -\frac{1}{16}\cos 8x é -\frac{1}{16}\cdot(-8\operatorname{sen} 8x)=\frac{1}{2}\operatorname{sen} 8x. Derivada de \frac{1}{4}\cos 2x é \frac{1}{4}\cdot(-2\operatorname{sen} 2x)=-\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x. Somando: \frac{1}{2}\operatorname{sen} 8x-\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x=\frac{1}{2}(\operatorname{sen} 8x-\operatorname{sen} 2x), que é exatamente \operatorname{sen} 3x\cos 5x pela identidade que usamos. Está certo!

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{16}\cos 8x+\frac{1}{4}\cos 2x + C

Exercícios relacionados