∫ sen 3 x · cos 5 x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a integranda é o produto de e
com argumentos lineares em
(respectivamente
e
). O objetivo é encontrar uma antiderivada (ou seja, uma função cuja derivada seja
), mais uma constante de integração.
Informações dadas: a integranda é o produto de
Passo 2
Escolhi usar a identidade produto-para-soma porque transforma o produto
em soma de senos, e integrar somas de senos é direto. Vou mostrar de onde vem essa identidade (passo-a-passo) para você decorar/entender: as fórmulas de soma para seno são
Se somarmos as duas equações membro a membro, o termo com
cancela:
Isolando o produto, obtemos a identidade produto-para-soma:
Passo 3
Agora aplico essa identidade com
e
. Então
Como
, isso vira
Passo 4
Substituo na integral e uso linearidade (a integral da soma é soma das integrais; constante pode sair):
Passo 5
Lembro (e explico) a fórmula básica: para constante
,
Derivação rápida dessa fórmula: faça
, então
e
. A integral fica
.
Aplico a cada termo:
Substituindo em (Passo 4) e combinando constantes:
Multiplicando a
:
Passo 6
Verificação rápida (para ficar tranquilo): derivo a resposta para ver se volto à integranda. Derivada de
é
. Derivada de
é
. Somando:
, que é exatamente
pela identidade que usamos. Está certo!