∫ sen^{2} 3 x · cos ^{2} 3 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2}3x\cdot\cos^{2}3x\;dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de potências das funções seno e cosseno com argumento 3x. O objetivo é encontrar uma antiderivada (mais a constante de integração).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando uma identidade que relaciona \sin^{2}\theta e \cos^{2}\theta com \sin(2\theta). Começamos da identidade do ângulo duplo
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta.
Elevando ao quadrado obtemos
\sin^{2}2\theta = 4\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta.
Desse modo
\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{1}{4}\sin^{2}2\theta.
Aplicando com \theta=3x
\sin^{2}3x\cos^{2}3x = \frac{1}{4}\sin^{2}6x.

Passo 3

Agora usemos a identidade de redução de potência para \sin^{2}: a partir de \cos 2u = 1-2\sin^{2}u temos
\sin^{2}u = \frac{1-\cos 2u}{2}.
Aplicando com u=6x resulta em
\sin^{2}6x = \frac{1-\cos 12x}{2}.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\sin^{2}3x\cos^{2}3x = \frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos 12x}{2} = \frac{1}{8}\bigl(1-\cos 12x\bigr).

Passo 4

Portanto a integral original fica
\int \sin^{2}3x\cos^{2}3x\;dx = \int \frac{1}{8}\bigl(1-\cos 12x\bigr)\;dx.
Podemos separar e fatorar constantes:
\int \frac{1}{8}\;dx - \int \frac{1}{8}\cos 12x\;dx = \frac{1}{8}\int dx - \frac{1}{8}\int \cos 12x\;dx.

Passo 5

Calcule as primitivas de cada termo. A primitiva de 1 é x, logo
\frac{1}{8}\int dx = \frac{1}{8}x.
Para \int \cos 12x\;dx usamos a regra da cadeia inversa: a derivada de \sin 12x é 12\cos 12x, então uma primitiva de \cos 12x é \dfrac{1}{12}\sin 12x. Assim
- \frac{1}{8}\int \cos 12x\;dx = -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{12}\sin 12x = -\frac{1}{96}\sin 12x.

Passo 6

Somando as duas partes e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada final:
\frac{1}{8}x - \frac{1}{96}\sin 12x + C.
Para checar (opcional): diferenciando \dfrac{1}{8}x - \dfrac{1}{96}\sin 12x obtemos \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{96}\cdot 12\cos 12x = \dfrac{1}{8}\bigl(1-\cos 12x\bigr), que é igual à forma simplificada do integrando, então está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}x-\frac{1}{96}\sin 12x + C

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