∫ sen^{2} 3 x · cos ^{2} 3 x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de potências das funções seno e cosseno com argumento
. O objetivo é encontrar uma antiderivada (mais a constante de integração).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando uma identidade que relaciona
e
com
. Começamos da identidade do ângulo duplo
Elevando ao quadrado obtemos
Desse modo
Aplicando com
dá
Passo 3
Agora usemos a identidade de redução de potência para
: a partir de
temos
Aplicando com
resulta em
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 4
Portanto a integral original fica
Podemos separar e fatorar constantes:
Passo 5
Calcule as primitivas de cada termo. A primitiva de
é
, logo
Para
usamos a regra da cadeia inversa: a derivada de
é
, então uma primitiva de
é
. Assim
Passo 6
Somando as duas partes e acrescentando a constante de integração
, obtemos a antiderivada final:
Para checar (opcional): diferenciando
obtemos
, que é igual à forma simplificada do integrando, então está correto.