∫ sen^{2} 2 x · cos ^{4} 2 x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida) da função cujo integrando é \sin^{2}(2x)\cdot\cos^{4}(2x).
Informações dadas: a variável de integração é x e a integral é
\int \sin^{2}(2x)\,\cos^{4}(2x)\,dx.
O objetivo é encontrar uma antiderivada dessa função (ou seja, uma expressão cuja derivada seja o integrando), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método — por que não usar diretamente u=\sin(2x): se fizermos u=\sin(2x) então du=2\cos(2x)\,dx, e isso exige que haja um fator \cos(2x)\,dx isolável no integrando; aqui temos \cos^{4}(2x), o que não facilita diretamente. Por isso vou usar identidades trigonométricas para reduzir as potências e transformar o integrando em uma soma de funções fáceis de integrar (cosenos de múltiplos de x). As identidades principais que vamos usar e o porquê:
  • A identidade de dupla frequência para seno: \sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x). Serve para transformar produtos \sin(2x)\cos(2x) em \sin(4x).
  • Redução de potência: \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2} e \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Permitem transformar quadrados em cossenos de ângulo duplo.
  • Produto de cossenos: \cos A\cos B=\dfrac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]. Vai aparecer ao multiplicar cossenos de diferentes frequências.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeira reescrita prática: separar \cos^{4}(2x) em \cos^{2}(2x)\cdot\cos^{2}(2x) e agrupar \sin^{2}(2x)\cos^{2}(2x). Assim
\sin^{2}(2x)\cos^{4}(2x)=\big(\sin^{2}(2x)\cos^{2}(2x)\big)\cdot\cos^{2}(2x).
Agora uso a identidade \sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x). Quadrando ambos os lados:
\sin^{2}(4x)=4\sin^{2}(2x)\cos^{2}(2x).
Logo
\sin^{2}(2x)\cos^{2}(2x)=\frac{1}{4}\sin^{2}(4x).
Substituindo de volta,
\sin^{2}(2x)\cos^{4}(2x)=\frac{1}{4}\sin^{2}(4x)\cdot\cos^{2}(2x).

Passo 4

Agora substituo \cos^{2}(2x) pela sua forma com cosseno de ângulo duplo:
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Portanto
\sin^{2}(2x)\cos^{4}(2x)=\frac{1}{4}\sin^{2}(4x)\cdot\frac{1+\cos(4x)}{2}=\frac{1}{8}\sin^{2}(4x)\big(1+\cos(4x)\big).

Passo 5

Reduzimos agora \sin^{2}(4x) usando \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}, com \theta=4x:
\sin^{2}(4x)=\frac{1-\cos(8x)}{2}.
Substituindo em cima,
\sin^{2}(2x)\cos^{4}(2x)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1-\cos(8x)}{2}\big(1+\cos(4x)\big)=\frac{1}{16}\big(1-\cos(8x)\big)\big(1+\cos(4x)\big).

Passo 6

Expandimos o produto e simplificamos. Primeiro expandindo:
\big(1-\cos(8x)\big)\big(1+\cos(4x)\big)=1+\cos(4x)-\cos(8x)-\cos(8x)\cos(4x).
Usamos a identidade de produto para \cos(8x)\cos(4x):
\cos(8x)\cos(4x)=\frac{1}{2}\big(\cos(12x)+\cos(4x)\big).
Substituindo isso:
1+\cos(4x)-\cos(8x)-\frac{1}{2}\big(\cos(12x)+\cos(4x)\big).
Agrupando termos de \cos(4x):
1+\cos(4x)-\cos(8x)-\frac{1}{2}\cos(12x)-\frac{1}{2}\cos(4x) =1+\frac{1}{2}\cos(4x)-\cos(8x)-\frac{1}{2}\cos(12x).
Lembrando do fator \dfrac{1}{16} que está fora, obtemos a forma final do integrando como soma:
\sin^{2}(2x)\cos^{4}(2x)=\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos(4x)-\frac{1}{16}\cos(8x)-\frac{1}{32}\cos(12x).

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Lembrando a fórmula básica
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+C,
para k\neq 0. Integração dos termos:
  • \displaystyle \int \frac{1}{16}\,dx=\frac{x}{16}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{32}\cos(4x)\,dx=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x)=\frac{1}{128}\sin(4x).
  • \displaystyle \int -\frac{1}{16}\cos(8x)\,dx=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{8}\sin(8x)=-\frac{1}{128}\sin(8x).
  • \displaystyle \int -\frac{1}{32}\cos(12x)\,dx=-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{12}\sin(12x)=-\frac{1}{384}\sin(12x).
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva completa.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{16}+\frac{1}{128}\sin(4x)-\frac{1}{128}\sin(8x)-\frac{1}{384}\sin(12x)+C

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