∫ sen^{2} 2 x · cos ^{4} 2 x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida) da função cujo integrando é
.
Informações dadas: a variável de integração é e a integral é
Informações dadas: a variável de integração é
O objetivo é encontrar uma antiderivada dessa função (ou seja, uma expressão cuja derivada seja o integrando), mais uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método — por que não usar diretamente
: se fizermos
então
, e isso exige que haja um fator
isolável no integrando; aqui temos
, o que não facilita diretamente. Por isso vou usar identidades trigonométricas para reduzir as potências e transformar o integrando em uma soma de funções fáceis de integrar (cosenos de múltiplos de
). As identidades principais que vamos usar e o porquê:
- A identidade de dupla frequência para seno:
. Serve para transformar produtos em . - Redução de potência:
e . Permitem transformar quadrados em cossenos de ângulo duplo. - Produto de cossenos:
. Vai aparecer ao multiplicar cossenos de diferentes frequências.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Primeira reescrita prática: separar
em
e agrupar
. Assim
Agora uso a identidade
. Quadrando ambos os lados:
Logo
Substituindo de volta,
Passo 4
Agora substituo
pela sua forma com cosseno de ângulo duplo:
Portanto
Passo 5
Reduzimos agora
usando
, com
:
Substituindo em cima,
Passo 6
Expandimos o produto e simplificamos. Primeiro expandindo:
Usamos a identidade de produto para
:
Substituindo isso:
Agrupando termos de
:
Lembrando do fator
que está fora, obtemos a forma final do integrando como soma:
Passo 7
Agora integramos termo a termo. Lembrando a fórmula básica
para
. Integração dos termos:
Somando tudo e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva completa.