sen x d yd x+(cos x) y=0, y(-pi2)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
sin x ,dydx + (cos x),y = 0,
com condição inicial yl(-tfracpi2r)=1.
Este é um caso de equação de primeira ordem linear homogênea (ou separável), e vamos resolver usando separação de variáveis ou fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão dividindo tudo por sin x (valendo-se de x tal que sin xneq0):
dydx + cos xsin x,y = 0 Longrightarrow dydx + cot x,y = 0

Passo 3

Agora usamos separação de variáveis. Reescrevemos como
1y,dydx = -cot x Longrightarrow dyy = -cot x,dx
Integramos ambos os lados:

Passo 4

A integral de cot x é ln|sin x|. Logo,
integral dyy = integral -cot x,dx Longrightarrow ln|y| = -lnl|sin xr| + C
Exponenciando, obtemos
|y| = e^C ,1|sin x|
Chamando C1 = pm e^C, fica a solução geral
y(x) = C1sin x

Passo 5

Impondo a condição inicial y(-tfracpi2)=1:
1 = yl(-tfracpi2r) = C1sinl(-tfracpi2r) = C1-1 = -C1 Longrightarrow C1 = -1
Portanto a solução particular é
y(x) = -1sin x = -csc x

Resposta

y(x) = -csc x

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