∫ sen x · sen 3 x · sen 5 x dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sen} x\cdot \operatorname{sen} 3x\cdot \operatorname{sen} 5x\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de três funções trigonométricas \operatorname{sen} x, \operatorname{sen} 3x e \operatorname{sen} 5x. Não há condições adicionais — queremos antiderivada geral (com +C).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivação): quando aparece produto de senos (especialmente 3 fatores), a maneira mais prática é reduzir produtos para somas usando identidades “produto-para-soma”. Essas identidades transformam produtos de funções trigonométricas em soma de funções trigonométricas com argumentos somados ou subtraídos, e aí é fácil integrar termo a termo.
Identidades que vamos usar (mostro e explico):
\cos(u-v)-\cos(u+v)=2\operatorname{sen} u\,\operatorname{sen} v,
que implica
\operatorname{sen} u\,\operatorname{sen} v=\tfrac{1}{2}\big(\cos(u-v)-\cos(u+v)\big).
E também
\operatorname{sen} u\cos v=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(u+v)+\operatorname{sen}(u-v)\big).
Essas fórmulas vêm das fórmulas de soma e diferença de seno e cosseno; aqui só as aplicamos sem derivar novamente para não complicar demais — a ideia é: produto → soma/segunda formas.

Passo 3

Aplicar a primeira identidade a dois fatores para simplificar: escolho multiplicar \operatorname{sen} x por \operatorname{sen} 5x primeiro.
Usando \operatorname{sen} u\,\operatorname{sen} v=\tfrac{1}{2}\big(\cos(u-v)-\cos(u+v)\big) com u=x e v=5x,
\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen} 5x = \tfrac{1}{2}\big(\cos(x-5x)-\cos(x+5x)\big) = \tfrac{1}{2}\big(\cos(-4x)-\cos 6x\big).
Como \cos(-4x)=\cos 4x, fica
\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen} 5x = \tfrac{1}{2}\big(\cos 4x-\cos 6x\big).

Passo 4

Volto à integral original, substituindo o produto simplificado:
\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen} 3x\cdot\operatorname{sen} 5x = \operatorname{sen} 3x\cdot\big(\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen} 5x\big) = \operatorname{sen} 3x\cdot \tfrac{1}{2}\big(\cos 4x-\cos 6x\big).
Logo a integranda é
\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 3x\cos 4x - \operatorname{sen} 3x\cos 6x\big).
Agora aplico a identidade \operatorname{sen} u\cos v=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(u+v)+\operatorname{sen}(u-v)\big) para cada termo:
Para \operatorname{sen} 3x\cos 4x com u=3x, v=4x,
\operatorname{sen} 3x\cos 4x = \tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(3x+4x)+\operatorname{sen}(3x-4x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 7x+\operatorname{sen}(-x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 7x-\operatorname{sen} x\big).
Para \operatorname{sen} 3x\cos 6x com u=3x, v=6x,
\operatorname{sen} 3x\cos 6x = \tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(3x+6x)+\operatorname{sen}(3x-6x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 9x+\operatorname{sen}(-3x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen} 9x-\operatorname{sen} 3x\big).

Passo 5

Substituo essas expressões na integranda:
\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen} 3x\cdot\operatorname{sen} 5x = \tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{1}{2}(\operatorname{sen} 7x-\operatorname{sen} x) - \tfrac{1}{2}(\operatorname{sen} 9x-\operatorname{sen} 3x)\Big).
Factorizando \tfrac{1}{4}:
\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen} 3x\cdot\operatorname{sen} 5x = \tfrac{1}{4}\big(-\operatorname{sen} 9x + \operatorname{sen} 7x + \operatorname{sen} 3x - \operatorname{sen} x\big).
Assim reduzimos o produto a uma soma de senos com coeficientes numéricos — ótimo, agora integra-se termo a termo.

Passo 6

Integro termo a termo. Lembrete: a primitiva de \operatorname{sen}(kx) é -\tfrac{1}{k}\cos(kx). Logo:
Calcule cada integral separadamente:
\int -\operatorname{sen} 9x\,dx = \tfrac{1}{9}\cos 9x + C_1,
\int \operatorname{sen} 7x\,dx = -\tfrac{1}{7}\cos 7x + C_2,
\int \operatorname{sen} 3x\,dx = -\tfrac{1}{3}\cos 3x + C_3,
\int -\operatorname{sen} x\,dx = \cos x + C_4.
Somando e lembrando do fator \tfrac{1}{4} que estava multiplicando a soma, a antiderivada geral é obtida multiplicando a soma acima por \tfrac{1}{4} e juntando as constantes numéricas numa única constante C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{36}\cos 9x-\frac{1}{28}\cos 7x-\frac{1}{12}\cos 3x+\frac{1}{4}\cos x + C

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