∫ sen x · sen 3 x · sen 5 x dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a integranda é o produto de três funções trigonométricas
,
e
. Não há condições adicionais — queremos antiderivada geral (com
).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivação): quando aparece produto de senos (especialmente 3 fatores), a maneira mais prática é reduzir produtos para somas usando identidades “produto-para-soma”. Essas identidades transformam produtos de funções trigonométricas em soma de funções trigonométricas com argumentos somados ou subtraídos, e aí é fácil integrar termo a termo.
Identidades que vamos usar (mostro e explico):
que implica
E também
Essas fórmulas vêm das fórmulas de soma e diferença de seno e cosseno; aqui só as aplicamos sem derivar novamente para não complicar demais — a ideia é: produto → soma/segunda formas.
Passo 3
Aplicar a primeira identidade a dois fatores para simplificar: escolho multiplicar
por
primeiro.
Usando
com
e
,
Como
, fica
Passo 4
Volto à integral original, substituindo o produto simplificado:
Logo a integranda é
Agora aplico a identidade
para cada termo:
Para
com
,
,
Para
com
,
,
Passo 5
Substituo essas expressões na integranda:
Factorizando
:
Assim reduzimos o produto a uma soma de senos com coeficientes numéricos — ótimo, agora integra-se termo a termo.
Passo 6
Integro termo a termo. Lembrete: a primitiva de
é
. Logo:
Calcule cada integral separadamente:
Somando e lembrando do fator
que estava multiplicando a soma, a antiderivada geral é obtida multiplicando a soma acima por
e juntando as constantes numéricas numa única constante
.