∫ sen^{4} x . dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
em relação a
. Como é uma integral indefinida, a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda): temos uma potência par de uma função trigonométrica (
). Uma técnica padrão e eficiente é usar identidades de redução de potência (as chamadas identidades de “power-reduction”) que transformam potências de seno em combinações de cossenos de ângulos múltiplos. Isso facilita porque integrar cossenos é direto. Vou usar essa ideia em vez de fórmulas recursivas porque é mais curta e mais prática na prova.
Passo 3
Identidade básica que vamos usar: a identidade do ângulo duplo para o cosseno dá, isolando
,
Portanto
Explico: aqui
é o cosseno do dobro de
; isolando
obtemos a forma que reduz potência 2 de seno para uma combinação de constantes e
.
Passo 4
Reescrevemos
como
e substituímos a identidade de cima:
Agora desenvolvemos o quadrado:
Passo 5
Ainda há
. Aplicamos a mesma redução de potência para cosseno: para qualquer
,
Aqui tomamos
, então
Substituindo isso em
obtemos:
Agora simplificamos os coeficientes passo a passo:
Multiplicando por
:
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Uso a regra básica: para constante
e
,
Aplicando a cada termo:
Integramos:
Passo 7
Somando os resultados e acrescentando a constante
, obtemos a primitiva:
Breve checagem (opcional, mas bom para garantir): derivando essa expressão usamos
e obtemos de volta
que já mostramos ser igual a
. Logo a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática para a prova: quando vir
com
par, pense em escrever
e aplicar
. Isso geralmente simplifica muito a integral. Você está indo bem — respira, faz passo a passo como aqui e resolve tranquilo.