∫ sen^{4} x . dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{4}x\,dx
Informações dadas: a função a integrar é \operatorname{sen}^{4}x em relação a x. Como é uma integral indefinida, a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda): temos uma potência par de uma função trigonométrica ( \operatorname{sen}^{4}x). Uma técnica padrão e eficiente é usar identidades de redução de potência (as chamadas identidades de “power-reduction”) que transformam potências de seno em combinações de cossenos de ângulos múltiplos. Isso facilita porque integrar cossenos é direto. Vou usar essa ideia em vez de fórmulas recursivas porque é mais curta e mais prática na prova.

Passo 3

Identidade básica que vamos usar: a identidade do ângulo duplo para o cosseno dá, isolando \operatorname{sen}^{2}x,
\cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^{2}x
Portanto
\operatorname{sen}^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Explico: aqui \cos(2x) é o cosseno do dobro de x; isolando \operatorname{sen}^{2}x obtemos a forma que reduz potência 2 de seno para uma combinação de constantes e \cos(2x).

Passo 4

Reescrevemos \operatorname{sen}^{4}x como (\operatorname{sen}^{2}x)^{2} e substituímos a identidade de cima:
\operatorname{sen}^{4}x=(\operatorname{sen}^{2}x)^{2}=\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^{2}.
Agora desenvolvemos o quadrado:
\operatorname{sen}^{4}x=\frac{1}{4}\bigl(1-2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)\bigr).

Passo 5

Ainda há \cos^{2}(2x). Aplicamos a mesma redução de potência para cosseno: para qualquer \theta,
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aqui tomamos \theta=2x, então
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Substituindo isso em \operatorname{sen}^{4}x obtemos:
\operatorname{sen}^{4}x=\frac{1}{4}\left(1-2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}\right).
Agora simplificamos os coeficientes passo a passo:
\operatorname{sen}^{4}x=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{2}-2\cos(2x)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(4x)\right) =\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}-2\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(4x)\right).
Multiplicando por \tfrac{1}{4}:
\operatorname{sen}^{4}x=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x).

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Uso a regra básica: para constante a e k\neq0,
\int a\,dx = a x + C,\qquad \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx)+C.
Aplicando a cada termo:
\int \operatorname{sen}^{4}x\,dx=\int\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right)dx.
Integramos:
\int \frac{3}{8}\,dx=\frac{3}{8}x,
\int -\frac{1}{2}\cos(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)=-\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x),
\int \frac{1}{8}\cos(4x)\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\operatorname{sen}(4x)=\frac{1}{32}\operatorname{sen}(4x).

Passo 7

Somando os resultados e acrescentando a constante C, obtemos a primitiva:
\int \operatorname{sen}^{4}x\,dx=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)+\frac{1}{32}\operatorname{sen}(4x)+C.
Breve checagem (opcional, mas bom para garantir): derivando essa expressão usamos \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(kx)=k\cos(kx) e obtemos de volta
\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x),
que já mostramos ser igual a \operatorname{sen}^{4}x. Logo a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática para a prova: quando vir \operatorname{sen}^{n}x com n par, pense em escrever \operatorname{sen}^{2}x e aplicar \operatorname{sen}^{2}x=(1-\cos(2x))/2. Isso geralmente simplifica muito a integral. Você está indo bem — respira, faz passo a passo como aqui e resolve tranquilo.

Resposta

\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)+\frac{1}{32}\operatorname{sen}(4x)+C

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