∫ sen^{2} 3 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sen}^{2}(3x)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \operatorname{sen}^{2}(3x), a variável de integração é x e devemos obter uma antiderivada (resultado com constante de integração).

Passo 2

Primeiro, vou transformar a notação trigonométrica para a forma padrão do TeX: \operatorname{sen} corresponde a \sin. Então trabalharemos com \displaystyle \int \sin^{2}(3x)\,dx.
Vou usar uma identidade trigonométrica muito útil para potências de seno: a fórmula de redução de potência
\sin^{2}t=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Explicando de onde vem: partimos da fórmula do cosseno do ângulo duplo \cos(2t)=1-2\sin^{2}t. Isolando \sin^{2}t obtemos exatamente a identidade acima. Aqui t é uma variável qualquer (no nosso caso será t=3x).

Passo 3

Aplicando a identidade com t=3x temos
\sin^{2}(3x)=\frac{1-\cos(2\cdot 3x)}{2}=\frac{1-\cos(6x)}{2}.
Portanto a integral fica
\int \sin^{2}(3x)\,dx=\int \frac{1-\cos(6x)}{2}\,dx.

Passo 4

Uso a linearidade da integral (posso distribuir constantes e somas):
\int \frac{1-\cos(6x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx-\frac{1}{2}\int \cos(6x)\,dx.
Aqui expliquei cada termo:
  • \int 1\,dx é a integral de uma constante 1, cujo resultado é x (pois \frac{d}{dx}x=1).
  • \int \cos(6x)\,dx precisa de atenção por causa do coeficiente 6 dentro do cosseno.

Passo 5

Para integrar \cos(6x) usamos a regra básica: se a é constante, \displaystyle \int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C. Por que isso funciona? Porque \frac{d}{dx}\sin(ax)=a\cos(ax), então ao integrar dividimos por a. Aqui a=6. Assim
\int \cos(6x)\,dx=\frac{1}{6}\sin(6x).

Passo 6

Substituindo os resultados em \frac{1}{2}\int 1\,dx-\frac{1}{2}\int \cos(6x)\,dx obtemos
\frac{1}{2}\cdot x-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\sin(6x)+C.
Multiplicando os fatores dá
\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}\sin(6x)+C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}\sin(6x)\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}\cdot 6\cos(6x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(6x)=\frac{1-\cos(6x)}{2},
que é exatamente \sin^{2}(3x) pela identidade do Passo 2. Então a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{12}\sin(6x)+C

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