∫ sen^{2} 3 x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função integranda é , a variável de integração é
e devemos obter uma antiderivada (resultado com constante de integração).
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Primeiro, vou transformar a notação trigonométrica para a forma padrão do TeX:
corresponde a
. Então trabalharemos com
.
Vou usar uma identidade trigonométrica muito útil para potências de seno: a fórmula de redução de potência
Vou usar uma identidade trigonométrica muito útil para potências de seno: a fórmula de redução de potência
Explicando de onde vem: partimos da fórmula do cosseno do ângulo duplo
. Isolando
obtemos exatamente a identidade acima. Aqui
é uma variável qualquer (no nosso caso será
).
Passo 3
Aplicando a identidade com
temos
Portanto a integral fica
Passo 4
Uso a linearidade da integral (posso distribuir constantes e somas):
Aqui expliquei cada termo:
-
é a integral de uma constante , cujo resultado é (pois ). -
precisa de atenção por causa do coeficiente dentro do cosseno.
Passo 5
Para integrar
usamos a regra básica: se
é constante,
. Por que isso funciona? Porque
, então ao integrar dividimos por
. Aqui
. Assim
Passo 6
Substituindo os resultados em
obtemos
Multiplicando os fatores dá
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta encontramos
que é exatamente
pela identidade do Passo 2. Então a antiderivada está correta.