Sendo 24 \% a. a a taxa nominal de juros cobrada pelo banco X, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja:
(a) mensal;

Passo 1

O enunciado dá a taxa nominal anual 24\% a.a. cobrada pelo banco X e pede para calcular o custo efetivo anual quando a capitalização é mensal.\n
Informações fornecidas e o que foi pedido:
  • Taxa nominal anual: j=24\% (ou seja, j=0,24 em forma decimal).
  • Período de capitalização: mensal, portanto m=12 capitalizações por ano.
  • Pedido: calcular a taxa efetiva anual (custo efetivo anual) correspondente a essa taxa nominal com capitalização mensal.

Passo 2

Entender o que significa “taxa nominal” e “taxa periódica”.\n
A taxa nominal anual j é uma taxa declarada por ano, mas quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano precisamos dividir essa taxa anual pelo número de períodos para achar a taxa aplicada em cada período (a taxa periódica).\n
A fórmula para a taxa periódica i_{\text{per}} é:
i_{\text{per}}=\frac{j}{m}
onde j é a taxa nominal anual (em forma decimal) e m é o número de capitalizações por ano. Aqui j=0,24 e m=12.

Passo 3

Calcular a taxa periódica (mensal).\n
Aplicando a fórmula:
i_{\text{per}}=\frac{0,24}{12}=0,02.
Isso significa que a cada mês a taxa aplicada é de 0,02 (ou seja, 2\% ao mês).

Passo 4

Entender e escrever a fórmula da taxa efetiva anual (TEA).\n
Se a cada mês o capital é multiplicado por (1+i_{\text{per}}), ao fim de 12 meses o fator de capitalização anual é (1+i_{\text{per}})^{12}. A taxa efetiva anual i_{\text{efet}} é o ganho percentual anual, dado por:
i_{\text{efet}}=(1+i_{\text{per}})^{12}-1.
Aqui substituiremos i_{\text{per}}=0,02.

Passo 5

Substituir e reduzir a expressão para o nosso caso:
i_{\text{efet}}=(1+0,02)^{12}-1=1,02^{12}-1.

Passo 6

Calcular 1,02^{12} passo a passo (multiplicações sucessivas), para que você possa reproduzir na prova sem depender de mágica de calculadora:\n
1,02^{1}=1,02 \n
1,02^{2}=1,0404 \n
1,02^{3}=1,061208 \n
1,02^{4}=1,08243216 \n
1,02^{5}=1,1040808032 \n
1,02^{6}=1,126162419264 \n
1,02^{7}=1,14868566764928 \n
1,02^{8}=1,1716593810022656 \n
1,02^{9}=1,195092568622311 \n
1,02^{10}=1,2189944199947572 \n
1,02^{11}=1,2433743083946523 \n
1,02^{12}=1,2682417945625453.

Passo 7

Subtrair 1 para obter a taxa efetiva anual em forma decimal e converter para porcentagem.\n
i_{\text{efet}}=1,2682417945625453-1=0,2682417945625453.
Convertendo para porcentagem multiplicando por 100\%:
i_{\text{efet}}\approx 26,824\%.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: isso quer dizer que, embora a taxa nominal seja 24\% ao ano, com capitalização mensal o custo efetivo anual sobe para cerca de 26,824\%. É normal ficar surpreso — capitalizar mais vezes aumenta o custo. Você foi bem seguindo passo a passo; continue assim na prova!

Resposta

26,824\%

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