Mário tem três opções de pagamento na compra de um vestuário.
i) à vista com 30 \% de desconto.
ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra.
iii) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.
Qual a melhor opção para Mário, se o dinheiro vale, para ele 25 \% a.m ?

Passo 1

O enunciado dá três opções de pagamento para a compra de uma peça de roupa e pede para decidir qual é a melhor opção para o Mário, considerando que o dinheiro vale 25\% ao mês para ele. Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Taxa de juros (valor do dinheiro para Mário): } i = 25\% \text{ ao mês} \\\ &\text{Opção (i): pagar à vista com }30\%\text{ de desconto.} \\\ &\text{Opção (ii): pagar em 2 prestações mensais iguais, sem desconto,} \\\ &\qquad\text{com a primeira vencendo 1 mês após a compra.} \\\ &\text{Opção (iii): pagar em 3 prestações mensais iguais, sem desconto,} \\\ &\qquad\text{com a primeira no ato da compra (imediata) e as outras a 1 e 2 meses.} \end{aligned}áêçãàçãçõêóçãçõ
Vamos comparar as opções usando as informações acima. A resposta final deverá indicar qual opção é financeiramente melhor para o Mário dado i=25\% a.m.

Passo 2

Conceito necessário (muito importante): valor presente (PV). Como o dinheiro tem valor no tempo, para comparar pagamentos em momentos diferentes a técnica é trazer todos os pagamentos para o mesmo instante (normalmente o presente) usando desconto a uma taxa i. A fórmula básica é:
\text{PV de um pagamento }X\text{ que ocorre em }n\text{ meses} \;=\; \frac{X}{(1+i)^n}.
Aqui:
\begin{aligned} &X \text{ é o valor da parcela (em reais, por exemplo);}\\\ &i \text{ é a taxa de juros mensal (no caso }i=25\%=0{,}25\text{);}\\\ &n \text{ é o número de meses até o pagamento.} \end{aligned}éééúé
Para decidir qual opção é melhor para o comprador (Mário) com essa preferência temporal, comparamos os valores presentes de cada opção: a melhor é a que tiver o menor valor presente (porque representa menor custo em termos de dinheiro hoje).

Passo 3

Definimos S como o preço à vista sem desconto (o preço “cheio” antes de qualquer desconto). Vamos calcular o valor presente de cada opção em função de S.
Opção (i) — à vista com 30\% de desconto.
O pagamento é imediato (no ato), então não precisa descontar:
\text{PV}_{(i)} = 0{,}70\,S.
(Explicação: 30\% de desconto significa pagar 100\%-30\%=70\% do preço, isto é 0{,}70S.)

Passo 4

Opção (ii) — duas prestações mensais iguais, sem desconto, primeira vence em 1 mês.
As parcelas são \dfrac{S}{2} em n=1 mês e \dfrac{S}{2} em n=2 meses. Então:
\text{PV}_{(ii)}=\frac{S}{2}\cdot\frac{1}{(1+i)^1}+\frac{S}{2}\cdot\frac{1}{(1+i)^2}.
Substituindo i=0{,}25 (ou seja 1+i=1{,}25):
\frac{1}{1{,}25}=0{,}8,\qquad \frac{1}{(1{,}25)^2}=0{,}64.
Portanto:
\text{PV}_{(ii)}=\frac{S}{2}\bigl(0{,}8+0{,}64\bigr)=\frac{S}{2}\cdot1{,}44=0{,}72\,S.
(Interpretação: pagar em 2 parcelas é equivalente a pagar hoje 0{,}72S.)

Passo 5

Opção (iii) — três prestações mensais iguais, sem desconto, primeira no ato da compra.
As parcelas são \dfrac{S}{3} em n=0 (agora), \dfrac{S}{3} em n=1, e \dfrac{S}{3} em n=2. O valor presente é:
\text{PV}_{(iii)}=\frac{S}{3}\cdot\frac{1}{(1+i)^0}+\frac{S}{3}\cdot\frac{1}{(1+i)^1}+\frac{S}{3}\cdot\frac{1}{(1+i)^2}.
Como \dfrac{1}{(1+i)^0}=1 e usando os valores anteriores 0{,}8 e 0{,}64:
\text{PV}_{(iii)}=\frac{S}{3}\bigl(1+0{,}8+0{,}64\bigr)=\frac{S}{3}\cdot2{,}44=\frac{61}{75}\,S\approx0{,}813333\;S.
(Detalhe: 2{,}44=\tfrac{244}{100}=\tfrac{61}{25}, e \tfrac{61}{25}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{61}{75}.)

Passo 6

Agora comparamos os valores presentes (todos em fração de S):
\text{PV}_{(i)}=0{,}70\,S,\qquad \text{PV}_{(ii)}=0{,}72\,S,\qquad \text{PV}_{(iii)}\approx0{,}813333\,S.
Como o objetivo do Mário é pagar o menor custo em termos de valor presente (ele prefere pagar menos em termos do dinheiro de hoje), a melhor opção é aquela com menor PV. Aqui:
0{,}70\,S < 0{,}72\,S < 0{,}813333\,S.
Portanto, a melhor opção é a opção (i), pagar à vista com 30\% de desconto.
Exemplo numérico para fixar (se ajudar): se S=100 reais, então \text{PV}_{(i)}=70 reais, \text{PV}_{(ii)}=72 reais, \text{PV}_{(iii)}\approx81{,}33 reais — claramente a opção à vista é a mais barata hoje.

Resposta

A melhor opção é a opção (i) — pagar à vista com 30\% de desconto.

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