Sendo F=(2x^2-3z)i-2xyj-4xk, em que V é a região limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2x+2y+z=4. Calcular:
integral duplaV integral(nabla times F) dV

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos o campo vetorial
F(x,y,z) = (2x^2 - 3z),i ;-; 2xy,j;-;4x,k
e a região integral triplaV l(nablatimesFr),dV é o tetraedro limitado pelos planos , , e .
O que a gente precisa calcular é o integral de volume do rotacional de , ou seja
Matéria envolvida: cálculo em várias variáveis – rotacional (curl) de um campo vetorial e integração tripla numa região limitada por planos. Vamos precisar de:
  1. Calcular .
  2. Escrever a integral tripla na ordem (ou outra que preferir).
  3. Integrar cada componente do rotacional sobre .

Passo 2

Primeiro, vamos achar o rotacional
nablatimesF = i&j&k partial/partial x&partial/partial y&partial/partial z 2x^2-3z&-2xy&-4x
Isso dá componente a componente:
  • Componente nablatimesF=(0,;1,;-2y) :
  • Componente :
  • Componente :
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Passo 3

Agora montamos a integral tripla sobre 0<= x<= 2, 0<= y<= 2-x, 0<= z<= 4-2x-2y . A região integral triplaV(0,1,-2y),dV = gl( integral triplaV0,dV,; integral triplaV1,dV,; integral triplaV(-2y),dV gr) em coordenadas cartesianas é

Então
[
\iiint_{V}(0,1,-2y),dV

\biggl(
\iiint_{V}0,dV,;
\iiint_{V}1,dV,;
\iiint_{V}(-2y),dV
\biggr).
]

Passo 4

Calcular integralx=0^2!integraly=0^2-x!integralz=0^4-2x-2y1,dz,dy,dx =integral0^2!integral0^2-x(4-2x-2y),dy,dx =83 , que é o volume de :

Passo 5

Calcular integral0^2!integral0^2-x!integral0^4-2x-2yy,dz,dy,dx =integral0^2!integral0^2-xy,(4-2x-2y),dy,dx =43 :
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Resposta

[
\iiint_{V}(\nabla\times\vec{F}),dV

\Bigl(0,;\tfrac{8}{3},;-\tfrac{8}{3}\Bigr).
]

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