Sendo , em que V é a região limitada pelos planos , , e . Calcular:
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos o campo vetorial
e a região é o tetraedro limitado pelos planos , , e .
O que a gente precisa calcular é o integral de volume do rotacional de , ou seja
Matéria envolvida: cálculo em várias variáveis – rotacional (curl) de um campo vetorial e integração tripla numa região limitada por planos. Vamos precisar de:
Calcular .
Escrever a integral tripla na ordem (ou outra que preferir).
Integrar cada componente do rotacional sobre .
Passo 2
Primeiro, vamos achar o rotacional
Isso dá componente a componente:
Componente nablatimesF=(0,;1,;-2y) :
Componente :
Componente :
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Passo 3
Agora montamos a integral tripla sobre 0<= x<= 2, 0<= y<= 2-x, 0<= z<= 4-2x-2y . A região integral triplaV(0,1,-2y),dV = gl( integral triplaV0,dV,; integral triplaV1,dV,; integral triplaV(-2y),dV gr) em coordenadas cartesianas é
Então
[
\iiint_{V}(0,1,-2y),dV