Sendo f=60 \mathrm{~Hz}, calcule o valor da reatância capacitiva e da impedância do circuito.
Repita os cálculos da questão anterior para f=300 \mathrm{~Hz} e compare os valores obtidos.

Passo 1

O enunciado diz: “Sendo f=60\\ \mathrm{Hz}, calcule o valor da reatância capacitiva e da impedância do circuito. Repita para f=300\\ \mathrm{Hz} e compare os valores obtidos.”
Informações fornecidas explicitamente: \,f=60\\ \mathrm{Hz} e \,f=300\\ \mathrm{Hz}.
Informações que NÃO foram fornecidas e que são necessárias para obter números: o valor da capacitância C e a configuração/valores do circuito (por exemplo, se é somente um capacitor, ou um circuito série R\!-\!C com resistência R, etc.).
Conclusão imediata: não há como fornecer valores numéricos absolutos (em ohms) sem C (e sem R se a impedância pedida for de um RC série). Vou então:
  • explicar detalhadamente como calcular a reatância capacitiva e a impedância passo a passo;
  • dar as fórmulas gerais e as expressões para f=60\\ \mathrm{Hz} e f=300\\ \mathrm{Hz} em função de C (e R quando aplicável);
  • comparar analiticamente os resultados entre as duas frequências (mostrando como variam), para que você aplique direto na prova quando souber C (e R).

Passo 2

O que é reatância capacitiva e qual a fórmula que usamos.
  • Um capacitor, em regime senoidal, tem uma impedância complexa dada por
Z_C=\frac{1}{j\omega C},
onde \omega é a pulsação angular, \omega=2\pi f, f é a frequência em hertz, C é a capacitância em farads e j é a unidade imaginária.
  • A reatância capacitiva X_C é o valor absoluto da parte imaginária de Z_C. Convenção usual: Z_C=-jX_C com
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C}.
Explicando cada termo: \,X_C tem unidade de ohms ( \Omega); quanto maior f ou C, menor X_C (o capacitor “deixa passar” mais corrente em alta frequência).

Passo 3

Calcule simbolicamente a reatância para f=60\\ \mathrm{Hz} e f=300\\ \mathrm{Hz}.
  • Para f=60\\ \mathrm{Hz}:
X_{C,60}=\frac{1}{2\pi\cdot 60\cdot C}.
  • Para f=300\\ \mathrm{Hz}:
X_{C,300}=\frac{1}{2\pi\cdot 300\cdot C}.
Relação direta entre eles: divida as duas expressões:
\frac{X_{C,300}}{X_{C,60}}=\frac{1/(2\pi\cdot 300\cdot C)}{1/(2\pi\cdot 60\cdot C)}=\frac{60}{300}=\frac{1}{5}.
Portanto X_{C,300}=\dfrac{X_{C,60}}{5}. Interpretação prática: ao multiplicar a frequência por 5 (de 60 para 300 Hz), a reatância capacitiva diminui por um fator 5.

Passo 4

Impedância quando o circuito for apenas o capacitor (caso mais simples).
  • Se o circuito é somente o capacitor, a impedância complexa do circuito é
Z_{60}=\frac{1}{j2\pi\cdot 60\cdot C}=-jX_{C,60},
Z_{300}=\frac{1}{j2\pi\cdot 300\cdot C}=-jX_{C,300}.
  • A magnitude da impedância (o que normalmente se chama “valor da impedância” quando se pede módulo) é
|Z_{60}|=X_{C,60},\qquad |Z_{300}|=X_{C,300}.
Logo no caso puramente capacitivo o módulo da impedância cai também por fator 5 quando f vai de 60 para 300\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Impedância quando o circuito for um RC série (caso mais comum em provas). Ensino passo a passo como calcular e interpretar.
  • Para um resistor R em série com um capacitor C, a impedância é a soma das impedâncias:
Z = R + Z_C = R - jX_C.
Aqui R é real (em \Omega) e X_C é a reatância capacitiva definida anteriormente.
  • O módulo da impedância é
|Z|=\sqrt{R^2 + X_C^{2}}.
  • O ângulo de fase (tensão à frente ou defasagem) é
\varphi = \arg(Z) = -\arctan\!\left(\frac{X_C}{R}\right).
Para os dois f diferentes substituímos X_C por X_{C,60} e X_{C,300}:
|Z_{60}|=\sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{2\pi\cdot60\cdot C}\right)^2},
|Z_{300}|=\sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{2\pi\cdot300\cdot C}\right)^2}.
Comparação analítica: como X_{C,300}=X_{C,60}/5, o módulo muda segundo
\frac{|Z_{300}|}{|Z_{60}|}=\frac{\sqrt{R^2 + (X_{C,60}/5)^2}}{\sqrt{R^2 + X_{C,60}^2}}.
Casos extremos para intuição:
  • Se R=0 (somente capacitor) então |Z_{300}|/|Z_{60}|=1/5.
  • Se R\gg X_{C,60} (resistência dominante) então |Z_{300}|\approx|Z_{60}|\approx R (mudança pequena).
    Então, em um RC série, o aumento da frequência sempre reduz a contribuição reativa e leva o módulo de Z mais perto de R; a redução máxima do módulo é quando o termo reativo dominava inicialmente.

Passo 6

Como proceder numericamente na prova (passo a passo prático para quando você tiver C e, se necessário, R). Eu faço devagar como se estivéssemos juntos na prova:
  1. Anota C em farads e f em hertz. Calcula \omega=2\pi f.
  2. Calcula X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{2\pi f C}. Esse é um número em ohms. (Se precisar de conta sem calculadora, tente valores de C que dão frações simples; mas normalmente prova permite calculadora.)
  3. Se o circuito for só o capacitor: escreve Z=-jX_C e o módulo é X_C.
  4. Se for RC série: escreve Z=R-jX_C e o módulo |Z|=\sqrt{R^2+X_C^2}. Calcula \varphi=-\arctan(X_C/R) se pedirem fase.
  5. Repete para f=300\\ \mathrm{Hz} e compara os dois valores usando a relação X_{C,300}=X_{C,60}/5 (isso facilita checar resultado).

Passo 7

Resumo interpretativo e motivador (pra você lembrar fácil na prova):
  • A reatância capacitiva é inversamente proporcional à frequência: aumentar f faz X_C cair.
  • A razão entre 300\\ \mathrm{Hz} e 60\\ \mathrm{Hz} é 5, então X_C em 300\\ \mathrm{Hz} vale exatamente 1/5 do valor em 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Se o circuito é só capacitor, a impedância (módulo) também cai por fator 5. Se há um R em série, a queda no módulo depende de quanto R pesa em relação a X_C; o valor extremo é entre redução total por 5 (quando R=0) e nenhuma mudança (quando R domina).

Resposta

Para f=60\\ \mathrm{Hz}: X_{C,60}=\dfrac{1}{2\pi\cdot 60\cdot C}.
Para f=60\\ \mathrm{Hz} (apenas capacitor): Z_{60}=-j\,\dfrac{1}{2\pi\cdot 60\cdot C} e |Z_{60}|=\dfrac{1}{2\pi\cdot 60\cdot C}.
Para f=60\\ \mathrm{Hz} (RC série): Z_{60}=R-j\,\dfrac{1}{2\pi\cdot 60\cdot C},\quad |Z_{60}|=\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{2\pi\cdot 60\cdot C}\right)^2}.
Para f=300\\ \mathrm{Hz}: X_{C,300}=\dfrac{1}{2\pi\cdot 300\cdot C}.
Para f=300\\ \mathrm{Hz} (apenas capacitor): Z_{300}=-j\,\dfrac{1}{2\pi\cdot 300\cdot C} e |Z_{300}|=\dfrac{1}{2\pi\cdot 300\cdot C}.
Para f=300\\ \mathrm{Hz} (RC série): Z_{300}=R-j\,\dfrac{1}{2\pi\cdot 300\cdot C},\quad |Z_{300}|=\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{2\pi\cdot 300\cdot C}\right)^2}.
Comparação: X_{C,300}=\dfrac{X_{C,60}}{5}. Portanto a reatância capacitiva (e, no caso puramente capacitivo, o módulo da impedância) diminui por um fator 5 ao passar de 60\\ \mathrm{Hz} para 300\\ \mathrm{Hz}. Em um RC série o módulo de Z também diminui, mas o quanto diminui depende da relação entre R e X_C (ver fórmulas acima).

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