Sendo f=60 \mathrm{~Hz}, calcule o valor da reatância capacitiva e da impedância do circuito.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a reatância capacitiva e calcular a impedância do circuito, dada a frequência \,f=60\\ \mathrm{Hz}.
Informações fornecidas: \,f=60\\ \mathrm{Hz}.
Informações que faltam (essenciais para um cálculo numérico): o valor da capacitância \,C (em farads) e a topologia do circuito (por exemplo: capacitor puro, ou circuito série R\!-\!C, ou paralelo R\parallel C). Sem essas informações não é possível obter um valor numérico definitivo. A partir daqui eu explico as fórmulas e mostro passo a passo como calcular assim que \,C (e \,R, se houver) forem conhecidos.

Passo 2

Conceito básico: reatância capacitiva é a “resistência” que um capacitor apresenta a sinais alternados; depende da frequência e da capacitância. A fórmula vem da representação complexa da impedância de um capacitor. A impedância do capacitor em função da frequência angular \,\omega é
Z_C=\frac{1}{j\omega C}.
Aqui:
  • \,j é a unidade imaginária ( j^2=-1) usada em engenharia elétrica;
  • \,\omega é a frequência angular, definida por \,\omega=2\pi f;
  • \,C é a capacitância em farads.
Expliquei cada símbolo para você não se perder na prova: \,f em hertz dá \,\omega em rad/s via \,2\pi f.

Passo 3

Definição da reatância capacitiva (valor positivo usado para magnitude):
A partir de \;Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}\; podemos escrever
Z_C=-\,\mathrm{j}\,\frac{1}{\omega C}.
A parte positiva \dfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva em módulo e é denotada por \,X_C:
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C}.
Interpretação rápida: para capacitor, quanto maior \,f ou \,C, menor \,X_C. Isso significa que capacitores deixam passar melhor sinais de alta frequência.

Passo 4

Unidades e conversões (prática):
  • Capacitância normalmente dada em microfarads ( \mu\mathrm{F}): converta para farads com \,1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Frequência \,f em hertz já está pronta.
  • A reatância \,X_C resultará em ohms ( \Omega).
Como calcular numericamente (passo a passo) quando você tiver \,C:
  1. Calcule \omega=2\pi f. Com f=60\\ \mathrm{Hz}, \omega=2\pi\cdot 60=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376{,}99\\ \mathrm{rad/s}.
  2. Converta \,C para farads (ex.: se C=10\\ \mu\mathrm{F}, então C=10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=10^{-5}\\ \mathrm{F}).
  3. Calcule \omega C.
  4. Calcule X_C=\dfrac{1}{\omega C}. Use divisão simples (pode ser feito na calculadora da prova).
Exemplo ilustrativo (sem ser pedido): se C=10\\ \mu\mathrm{F}=10^{-5}\\ \mathrm{F},
\omega=120\pi\approx376{,}99,\qquad \omega C\approx376{,}99\times10^{-5}=0{,}0037699,
X_C=\frac{1}{0{,}0037699}\approx265{,}3\\ \Omega.
Isso mostra o procedimento numérico.

Passo 5

Impedância do capacitor (interpretação e forma completa):
  • Para um capacitor isolado (apenas o capacitor no circuito), a impedância complexa é
Z_C=-\,\mathrm{j}X_C=-\,\mathrm{j}\,\frac{1}{2\pi f C}.
Isto significa que o vetor de impedância está no eixo imaginário negativo; o módulo é |Z_C|=X_C e a defasagem é -90^\circ.

Passo 6

Se o circuito for um circuito série R\!-\!C (caso muito comum em provas), a impedância total é a soma da resistência real R com a impedância do capacitor:
Z=R+Z_C=R-\mathrm{j}X_C=R-\mathrm{j}\,\frac{1}{2\pi f C}.
Magnitudes e fase:
|Z|=\sqrt{R^2+X_C^2}, \qquad \varphi=\arctan\!\left(\frac{-X_C}{R}\right)=-\arctan\!\left(\frac{X_C}{R}\right).
Exemplo numérico (ilustrativo): com R=100\\ \Omega e o exemplo anterior X_C\approx265{,}3\\ \Omega,
|Z|=\sqrt{100^2+265{,}3^2}\approx283{,}5\\ \Omega,
\varphi\approx -\arctan(2{,}653)\approx -69{,}3^\circ.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova:
  • Sempre converta unidades antes de calcular (μF → F).
  • Faça cálculo de \omega=2\pi f primeiro, depois multiplique por C.
  • Identifique a topologia do circuito: se só tem capacitor, use Z_C; se tem R em série, use Z=R-jX_C; se for paralelo, use a fórmula de impedâncias em paralelo (posso mostrar se você quiser).
  • Verifique sinais (o sinal negativo no termo imaginário é típico do capacitor).

Resposta

Não é possível calcular numericamente sem o valor da capacitância C (e sem R se o circuito tiver resistência); apresento as fórmulas finais:
X_C=\dfrac{1}{2\pi f C}
Impedância (capacitor puro): Z_C=-\mathrm{j}\,\dfrac{1}{2\pi f C}
Impedância (RC série): Z=R-\mathrm{j}\,\dfrac{1}{2\pi f C}

Exercícios relacionados