Sendo .
a) Exprima em função de .
b) Mostre que é estritamente decrescente.
c) Mostre que é convergente.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede três coisas:
(a) relacionar com ,
(b) provar que é estritamente decrescente,
(c) provar que converge.
O conteúdo envolve produtos finitos, comparação de termos vizinhos (razão de termos) e o Teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas.
Passo 2
Para expressar em função de percebemos que
Logo,
an+1=an,2n+12n+2
Passo 3
Para mostrar que a sequência é estritamente decrescente basta notar que para todo n>=1
an+1an =2n+12n+2<1,
pois 2n+1<2n+2. Como a razão entre termos sucessivos é menor que 1, segue an+1<an, ou seja, an é estritamente decrescente.
Passo 4
Cada an é positivo (produto de razões positivas), logo a sequência é limitada inferiormente por 0. Pelo Teorema de convergência de sequências monótonas, toda sequência decrescente e limitada inferiormente converge a algum limite finito.
Resposta
a) an+1=an,2n+12n+2
b) Como tfrac2n+12n+2<1, temos an+1<an, logo é estritamente decrescente.
c) Sendo positiva e decrescente, é limitada abaixo por 0 e, por isso, converge.