Sendo an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ldots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots 2 n.
a) Exprima an+1 em função de an.
b) Mostre que ann >= 1 é estritamente decrescente.
c) Mostre que ann >= 1 é convergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n),
e pede três coisas:
  • (a) relacionar an+1 com an,
  • (b) provar que an é estritamente decrescente,
  • (c) provar que an converge.
    O conteúdo envolve produtos finitos, comparação de termos vizinhos (razão de termos) e o Teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas.

Passo 2

Para expressar an+1 em função de an percebemos que
an+1 =1cdot3cdot5cdots(2n-1)cdot(2(n+1)-1)2cdot4cdot6cdots(2n)cdot2(n+1) =underbrace1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)an cdot2n+12n+2
Logo,
an+1=an,2n+12n+2

Passo 3

Para mostrar que a sequência é estritamente decrescente basta notar que para todo n>=1
an+1an =2n+12n+2<1,
pois 2n+1<2n+2. Como a razão entre termos sucessivos é menor que 1, segue an+1<an, ou seja, an é estritamente decrescente.

Passo 4

Cada an é positivo (produto de razões positivas), logo a sequência é limitada inferiormente por 0. Pelo Teorema de convergência de sequências monótonas, toda sequência decrescente e limitada inferiormente converge a algum limite finito.

Resposta

a) an+1=an,2n+12n+2
b) Como tfrac2n+12n+2<1, temos an+1<an, logo é estritamente decrescente.
c) Sendo positiva e decrescente, é limitada abaixo por 0 e, por isso, converge.

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