Sendo A e B duas matrizes n times n invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
A^p B^-q A^-p B^q (p, q in N)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de ordem n, ambas invertíveis, e pede para analisar, para p,qinN, a invertibilidade da matriz
M ;=; A^p,B^-q,A^-p,B^q
O conteúdo usamos é que o produto de matrizes invertíveis é invertível, e que potências inteiras de matrizes invertíveis também são invertíveis.

Passo 2

Primeiro note que cada um dos fatores em
M = A^p;B^-q;A^-p;B^q
é invertível:
  • A^p é invertível com l(A^pr)^-1=A^-p.
  • B^q é invertível com l(B^qr)^-1=B^-q.
  • Claramente A^-p e B^-q são inversas de A^p e B^q, respectivamente.
Pela regra do produto, sendo X e Y invertíveis, o produto XY é invertível e
(XY)^-1 ;=; Y^-1X^-1

Passo 3

Aplicando sucessivamente ao produto de quatro fatores, vemos que M é produto de invertíveis e, portanto, é necessariamente invertível para quaisquer p,qinN. A inversa de M vem trocando a ordem dos fatores e invertendo cada um:
M^-1 = l(A^p,B^-q,A^-p,B^qr)^-1 = l(B^qr)^-1,l(A^-pr)^-1,l(B^-qr)^-1,l(A^pr)^-1 = B^-q,A^p,B^q,A^-p

Resposta

Para todo p,qinN, a matriz
A^p,B^-q,A^-p,B^q
é invertível e
l(A^p,B^-q,A^-p,B^qr)^-1 = B^-q,A^p,B^q,A^-p

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