Sendo
e
duas matrizes
invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
de ordem
, ambas invertíveis, e pede para analisar, para
, a invertibilidade da matriz
O conteúdo usamos é que o produto de matrizes invertíveis é invertível, e que potências inteiras de matrizes invertíveis também são invertíveis.
Passo 2
Primeiro note que cada um dos fatores em
é invertível:
-
é invertível com . -
é invertível com . - Claramente
e são inversas de e , respectivamente.
Pela regra do produto, sendo
e
invertíveis, o produto
é invertível e
Passo 3
Aplicando sucessivamente ao produto de quatro fatores, vemos que
é produto de invertíveis e, portanto, é necessariamente invertível para quaisquer
. A inversa de
vem trocando a ordem dos fatores e invertendo cada um:
Resposta
Para todo
, a matriz
é invertível e