Sendo A e B duas matrizes n times n invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
[ccA & 0 0 & B^-1]

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes invertíveis A e B de ordem n. Queremos verificar se a matriz em blocos
M = A & 0 [6pt] 0 & B^-1
é necessariamente invertível, e, em caso afirmativo, encontrar explicitamente M^{-1}.]

Passo 2

Repare que M é uma matriz block-diagonal, isto é, os únicos blocos não nulos estão na diagonal principal. Um fato padrão sobre matrizes block-diagonais é:
uma matriz block-diagonal é invertível se e somente se cada bloco diagonal for invertível, e a inversa é a block-diagonal dos inversos.
Aqui os dois blocos são A e B^-1.

Passo 3

Sabemos que A é invertível por hipótese e que B também é. Logo B^-1 é invertível (pois é o inverso de B). Portanto ambos os blocos de M são invertíveis, o que implica que M é invertível. Além disso, a inversa de cada bloco é
(A)^-1 = A^-1, l(B^-1r)^-1 = B
Pelo teorema de block-diagonal,
M^-1 = A^-1 & 0 [6pt] 0 & B
]

Resposta

M é sempre invertível, e
M^-1 = A^-1 & 0 [6pt] 0 & B ]

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