Sendo e duas matrizes invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes invertíveis A e B de ordem n. Queremos verificar se a matriz em blocos
M = A & 0 [6pt] 0 & B^-1
é necessariamente invertível, e, em caso afirmativo, encontrar explicitamente M^{-1}.]
Passo 2
Repare que M é uma matriz block-diagonal, isto é, os únicos blocos não nulos estão na diagonal principal. Um fato padrão sobre matrizes block-diagonais é:
uma matriz block-diagonal é invertível se e somente se cada bloco diagonal for invertível, e a inversa é a block-diagonal dos inversos.
Aqui os dois blocos são A e B^-1.
Passo 3
Sabemos que A é invertível por hipótese e que B também é. Logo B^-1 é invertível (pois é o inverso de B). Portanto ambos os blocos de M são invertíveis, o que implica que M é invertível. Além disso, a inversa de cada bloco é