Sendo A(-2,1,3) e B(6,-7,1) extremidades de um segmento, determinar:
(a) os pontos C, D, E e F, nesta ordem, que dividem o segmento A B em cinco partes de mesmo comprimento;
(b) os pontos F, G e H, nesta ordem, que dividem o segmento A B em quatro partes de mesmo comprimento.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em R^3,
A(-2,1,3), B(6,-7,1),
e pede pontos que dividem o segmento AB em partes iguais.
Conteúdo: usar vetor diretor e parâmetro para achar divisões proporcionais de um segmento no espaço.

Passo 2

Calcular o vetor diretor
AB=B-A=(6-(-2),,-7-1,,1-3)=(8,,-8,,-2)

Passo 3

Para dividir AB em n partes iguais, o k-ésimo ponto é
Pk = A + kn,AB, k=1,2,dots,n-1

Passo 4

(a) Em cinco partes iguais ( n=5), temos:
C=P1=A+tfrac15AB =l(-2+tfrac85,,1-tfrac85,,3-tfrac25r) =l(-tfrac25,,-tfrac35,,tfrac135r),
D=P2=A+tfrac25AB =l(-2+tfrac165,,1-tfrac165,,3-tfrac45r) =l(tfrac65,,-tfrac115,,tfrac115r),
E=P3=A+tfrac35AB =l(-2+tfrac245,,1-tfrac245,,3-tfrac65r) =l(tfrac145,,-tfrac195,,tfrac95r),
F=P4=A+tfrac45AB =l(-2+tfrac325,,1-tfrac325,,3-tfrac85r) =l(tfrac225,,-tfrac275,,tfrac75r)

Passo 5

(b) Em quatro partes iguais ( n=4), temos:
F'=A+tfrac14AB =l(-2+2,;1-2,;3-tfrac12r) =(0,,-1,,tfrac52),
G=A+tfrac24AB =l(-2+4,;1-4,;3-1r) =(2,,-3,,2),
H=A+tfrac34AB =l(-2+6,;1-6,;3-tfrac32r) =(4,,-5,,tfrac32)

Resposta

(a)
Cl(-tfrac25,-tfrac35,tfrac135r), Dl(tfrac65,-tfrac115,tfrac115r), El(tfrac145,-tfrac195,tfrac95r), Fl(tfrac225,-tfrac275,tfrac75r)
(b)
Fl(0,-1,tfrac52r), Gl(2,-3,2r), Hl(4,-5,tfrac32r)

Exercícios relacionados