Sendo boldsymbol{G}=2 x^{2} y \hat{\mathrm{a}}_{boldsymbol{x}}-(4 x+z) \hat{\mathrm{a}}_{boldsymbol{y}}, calcule a integral de linha \int \boldsymbol{G} . \boldsymbol{d L} do ponto \mathrm{P}(1,1,1) ao ponto \mathrm{Q}(3,5,1) utilizando os seguintes caminhos:
Parábola: 2 \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+1, \mathrm{z}=1;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Vetor campo: \boldsymbol{G}=2x^{2}y\,\hat{\mathbf{a}}_{x}-(4x+z)\,\hat{\mathbf{a}}_{y}.
  • Caminho (parábola) que liga os pontos P(1,1,1) a Q(3,5,1): 2y=x^{2}+1 e z=1.
  • Pedido: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{P}^{Q}\boldsymbol{G}\cdot d\boldsymbol{L} ao longo dessa parábola.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parábola pode ser escrita como y=\dfrac{x^{2}+1}{2}.
  • Os pontos inicial e final têm coordenadas x_P=1,\;y_P=1,\;z_P=1 e x_Q=3,\;y_Q=5,\;z_Q=1. (Confere com a curva y=(x^{2}+1)/2 em x=1 e x=3.)

Passo 2

Vou verificar rapidamente se o campo é conservativo (isso nos ensina uma alternativa: se fosse conservativo a integral seria independente do caminho). Para isso escrevo as componentes do campo:
G_x=2x^{2}y,\qquad G_y=-(4x+z),\qquad G_z=0.
O rotacional é \nabla\times\boldsymbol{G}. Calculo suas componentes:
(\nabla\times\boldsymbol{G})_x=\frac{\partial G_z}{\partial y}-\frac{\partial G_y}{\partial z} =0-\frac{\partial\big(-(4x+z)\big)}{\partial z}=0-(-1)=1,
(\nabla\times\boldsymbol{G})_y=\frac{\partial G_x}{\partial z}-\frac{\partial G_z}{\partial x} =\frac{\partial(2x^{2}y)}{\partial z}-0=0,
(\nabla\times\boldsymbol{G})_z=\frac{\partial G_y}{\partial x}-\frac{\partial G_x}{\partial y} =\frac{\partial\big(-(4x+z)\big)}{\partial x}-\frac{\partial(2x^{2}y)}{\partial y} =-4-(2x^{2})=-4-2x^{2}.
Como o rotacional não é o vetor nulo (por exemplo a componente x é 1), o campo não é conservativo. Portanto a integral depende do caminho e devemos parametrizar a curva e calcular diretamente.

Passo 3

Parametrização da parábola: é natural usar x como parâmetro. Defino t=x, com t variando de 1 a 3. Assim:
\boldsymbol{r}(t)=\big(t,\;y(t),\;z(t)\big)=\left(t,\;\frac{t^{2}+1}{2},\;1\right),\qquad 1\le t\le 3.
Derivo para obter d\boldsymbol{r}/dt:
\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\left(1,\;\frac{d}{dt}\frac{t^{2}+1}{2},\;0\right)=\big(1,\;t,\;0\big).
Então d\boldsymbol{L}=d\boldsymbol{r}=\big(1,t,0\big)\,dt.

Passo 4

Escrever \boldsymbol{G} ao longo da curva (substituir x=t,\;y=(t^{2}+1)/2,\;z=1):
G_x(t)=2t^{2}\cdot\frac{t^{2}+1}{2}=t^{2}(t^{2}+1)=t^{4}+t^{2},
G_y(t)=-(4t+1), \qquad G_z(t)=0.

Passo 5

A integral de linha é
\int_{P}^{Q}\boldsymbol{G}\cdot d\boldsymbol{L}=\int_{t=1}^{t=3}\boldsymbol{G}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\,dt.
Calculo o produto escalar \boldsymbol{G}\cdot d\boldsymbol{r}/dt:
\boldsymbol{G}\cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} =G_x(t)\cdot 1 + G_y(t)\cdot t + G_z(t)\cdot 0 =(t^{4}+t^{2}) + (-(4t+1))\,t.
Simplificando:
(t^{4}+t^{2}) -4t^{2}-t = t^{4}-3t^{2}-t.
Portanto a integral fica
\int_{1}^{3}\big(t^{4}-3t^{2}-t\big)\,dt.

Passo 6

Calculo da integral passo a passo. Primeiro a primitiva:
\int\big(t^{4}-3t^{2}-t\big)\,dt=\frac{t^{5}}{5}-t^{3}-\frac{t^{2}}{2}+C.
Avalio entre 1 e 3:
\left[\frac{t^{5}}{5}-t^{3}-\frac{t^{2}}{2}\right]_{1}^{3} =\left(\frac{3^{5}}{5}-3^{3}-\frac{3^{2}}{2}\right)-\left(\frac{1^{5}}{5}-1^{3}-\frac{1^{2}}{2}\right).
Calculo separado em frações:
\frac{3^{5}}{5}-3^{3}-\frac{3^{2}}{2}=\frac{243}{5}-27-\frac{9}{2} =\frac{486-270-45}{10}=\frac{171}{10},
\frac{1^{5}}{5}-1^{3}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{1}{5}-1-\frac{1}{2} =\frac{2-10-5}{10}=\!-\frac{13}{10}.
Subtraindo:
\frac{171}{10}-\left(-\frac{13}{10}\right)=\frac{171+13}{10}=\frac{184}{10}=\frac{92}{5}.

Resposta

\dfrac{92}{5}

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