Sendo
, calcule a integral de linha
do ponto
ao ponto
utilizando os seguintes caminhos:
Reta:
;
Reta:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
do ponto
até o ponto
ao longo da reta dada por
e
.
As informações fornecidas são:
- O campo vetorial é
. - O caminho é a reta que liga
a com equações paramétricas e . - Os pontos inicial e final são
e .
O que se pede: calcular
ao longo desse caminho.
Passo 2
Escolher uma parametrização simples. Como
e
estão dados em função de
, uso
como parâmetro: defino
. Assim
com o parâmetro variando de
(em
) até
(em
). Esta escolha é válida porque ao varrer
de
a
percorremos exatamente a reta entre
e
.
Passo 3
Calcular o diferencial de comprimento vetorial
. Em parametrização,
Derivando componente a componente:
portanto
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo do caminho, substituindo
,
,
:
Expliquei: substituiu-se
e
pelas expressões do caminho.
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Usando as componentes:
Isso dá, agrupando:
Passo 6
Simplificar o integrando. Primeiro expandir
:
Subtraindo
, o integrando fica
Passo 7
Montar a integral e calcular sua primitiva. A integral desejada é
Calculo a antiderivada termo a termo:
Logo uma primitiva é
Agora avalio entre
e
.
Passo 8
Avaliar a primitiva nos limites:
A diferença é