Sendo
, calcule a integral de linha
do ponto
ao ponto
utilizando os seguintes caminhos:
Parábola:
;
Parábola:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Vetor campo:
. - Caminho (parábola) que liga os pontos
a : e . - Pedido: calcular a integral de linha
ao longo dessa parábola.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parábola pode ser escrita como
. - Os pontos inicial e final têm coordenadas
e . (Confere com a curva em e .)
Passo 2
Vou verificar rapidamente se o campo é conservativo (isso nos ensina uma alternativa: se fosse conservativo a integral seria independente do caminho). Para isso escrevo as componentes do campo:
O rotacional é
. Calculo suas componentes:
Como o rotacional não é o vetor nulo (por exemplo a componente
é
), o campo não é conservativo. Portanto a integral depende do caminho e devemos parametrizar a curva e calcular diretamente.
Passo 3
Parametrização da parábola: é natural usar
como parâmetro. Defino
, com
variando de
a
. Assim:
Derivo para obter
:
Então
.
Passo 4
Escrever
ao longo da curva (substituir
):
Passo 5
A integral de linha é
Calculo o produto escalar
:
Simplificando:
Portanto a integral fica
Passo 6
Calculo da integral passo a passo. Primeiro a primitiva:
Avalio entre
e
:
Calculo separado em frações:
Subtraindo: